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théorie des groupes De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En théorie des groupes, un nombre cyclique est un entier n tel qu'il n'existe qu'un groupe fini d'ordre n (à isomorphisme près) : le groupe cyclique (ℤ/nℤ, +), ou encore, un entier n tel que tout groupe d'ordre n soit cyclique.
De même, un nombre abélien est un entier n tel que tout groupe d'ordre n soit abélien.
Tout nombre cyclique est abélien, et tout nombre abélien est nilpotent. L'appartenance d'un entier à l'une de ces classes se lit sur sa décomposition en facteurs premiers.
Voir aussi : « Liste des petits groupes ».
Soit p1k1 … prkr la décomposition de n en facteurs premiers (avec p1 < … < pr et ki ≥ 1).
Corollaires :
Tout groupe cyclique est abélien, c'est-à-dire nilpotent de classe au plus 1. Or l'article détaillé montre que :
Les nombres abéliens sont donc les nombres nilpotents sans cubes. Montrons de même que les nombres cycliques sont les nombres nilpotents sans carré. Tout groupe nilpotent fini est produit direct de ses sous-groupes de Sylow ; il est donc cyclique si (et seulement si) ses sous-groupes de Sylow le sont. Par conséquent, l'entier n est cyclique si et seulement s'il est nilpotent et si de plus, chacun de ses facteurs primaires piki est un nombre cyclique, c'est-à-dire (voir supra) ki = 1.
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