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Un nombre cyclique, ou nombre phénix, est un entier naturel dont les permutations circulaires des chiffres correspondent aux multiples du nombre. Le plus connu est 142 857 :
Ne doit pas être confondu avec Nombre cyclique (théorie des groupes).
Si les zéros ne sont pas permis au début des nombres, alors 142 857 est le seul nombre cyclique décimal. Mais s'ils sont permis, la suite des nombres cycliques commence comme suit :
| Chiffres | Nombre cyclique |
|---|---|
| 6 | 142 857 |
| 16 | 0 588 235 294 117 647 |
| 18 | 05 263 157 894 736 8421 |
| 22 | 0 434 782 608 695 652 173 913 |
| 28 | 0 344 827 586 206 896 551 724 137 931 |
| 46 | 0 212 765 957 446 808 510 638 297 872 340 425 531 914 893 617 |
| 58 | 0 169 491 525 423 728 813 559 322 033 898 305 084 745 762 711 864 406 779 661 |
| 60 | 016 393 442 622 950 819 672 131 147 540 983 606 557 377 049 180 327 868 852 459 |
| 96 | 010 309 278 350 515 463 917 525 773 195 876 288 659 793 814 432 989 690 721 649 484 536 082 474 226 804 123 711 340 206 185 567 |
Pour être cyclique, seuls les multiples successifs du nombre doivent être considérés et ceux-ci doivent correspondre à des permutations circulaires du nombre. Ainsi, le nombre 076923 n'est pas considéré comme cyclique, même si toutes ses permutations circulaires sont des multiples, car ceux-ci ne sont pas successifs :
Cette restriction exclut aussi des cas triviaux tels :
Les chiffres uniques peuvent être considérés comme des nombres cycliques triviaux ou dégénérés.
Les nombres cycliques sont liés aux développements décimaux périodiques des fractions unitaires. Tout nombre cyclique de longueur L est le développement décimal de[1]
Réciproquement, si la période du développement décimal de 1/p (où p est un nombre premier) est
alors les chiffres représentent un nombre cyclique[1].
Par exemple :
Les multiples de ces fractions présentent des permutations circulaires[1]:
En s'appuyant sur leur relation aux fractions unitaires, on démontre que les nombres cycliques sont de la forme[1]
où b est la base (10 dans le cas du système décimal) et p est un nombre premier ne divisant pas b. Les nombres premiers p qui génèrent des nombres cycliques sont appelés nombres premiers longs.
Par exemple, le cas b = 10, p = 7 donne le nombre cyclique 142857.
Toutes les valeurs de p ne généreront pas forcément un nombre cyclique selon cette formule; par exemple p = 13 donne 076923076923. Ces cas erronés contiendront toujours une ou plusieurs répétitions de chiffres.
Les vingt premières valeurs de p pour lesquelles cette formule produit un nombre cyclique en notation décimale sont (suite A001913 de l'OEIS) :
Cette suite intervient en théorie algébrique des nombres : elle est constituée des nombres premiers p tels que 10 est une racine primitive modulo p. Une conjecture d'Emil Artin postule que cette suite contiendrait 37,395..% des nombres premiers.
Les nombres cycliques peuvent être construits par l'algorithme suivant :
Soit b la base (10 en base décimale).
Soit p un nombre premier ne divisant pas b.
Soit t = 0.
Soit r = 1.
Soit n = 0.
Répéter ce qui suit :
Si t = p − 1 alors n est un nombre cyclique.
Cette procédure fonctionne en calculant les décimales de 1/p en base b, par division longue. r est le reste à chaque étape et d est la décimale produite.
L'étape
sert uniquement à colliger les chiffres. Dans les langages incapables d'opérer sur des nombres entiers très grands, les chiffres doivent être exprimés ou conservés autrement.
Il est notable que si t excède p/2, le nombre est forcément cyclique, sans besoin de calculer les chiffres restants.
Exemple : pour p=7, le nombre cyclique est 142857142857...
et on peut écrire :
n=1 n=2 n=3
1 x3 14 x2 142 x6
3 | 28 | 852 |
9 v 56 v 5112 v
27 112 30672
81 224 184032
243 448 1104192
+ 729 + 896 + 6625152
--------- ---------------- -----------------------
1428... 14285714285... 1428571428571428...
En utilisant la technique décrite plus haut, on peut trouver les nombres cycliques d'autres bases arithmétiques.
En base binaire (suite A001122 de l'OEIS) :
| Chiffres | Nombre cyclique |
|---|---|
| 2 | 01 |
| 4 | 0 011 |
| 10 | 0 001 011 101 |
| 12 | 000 100 111 011 |
| 18 | 000 011 010 111 100 101 |
En base ternaire (suite A019334 de l'OEIS) :
| Chiffres | Nombre cyclique |
|---|---|
| 4 | 0 121 |
| 6 | 010 212 |
| 16 | 0 011 202 122 110 201 |
| 18 | 001 102 100 221 120 122 |
| 28 | 0 002 210 102 011 122 200 121 202 111 |
En base octale (suite A019338 de l'OEIS) :
| Chiffres | Nombre cyclique |
|---|---|
| 2 | 25 |
| 4 | 1 463 |
| 10 | 0 564 272 135 |
| 28 | 0 215 173 454 106 475 626 043 236 713 |
| 52 | 0 115 220 717 545 336 140 465 103 476 625 570 602 324 416 373 126 743 |
En base duodécimale (suite A019340 de l'OEIS) :
| Chiffres | Nombre cyclique |
|---|---|
| 4 | 2 497 |
| 6 | 186 A35 |
| 16 | 0 857 921 4B3 642 9A7 |
| 30 | 047 8AA 093 598 166 B74 311 B28 623 A55 |
| 40 | 0 361 90A 653 277 397 A9B 4B8 5A2 B15 689 448 241 207 |
En base 24 (notation en utilisant les lettres de A à N) (suite A019351 de l'OEIS) :
| Chiffres | Nombre cyclique |
|---|---|
| 6 | 3A6 KDH |
| 10 | 2 48H ALJ F6D |
| 12 | 1K7 95C M3G EIB |
| 16 | 1 9L4 5FC GME 2JI 8B7 |
| 30 | 0ID MAK 327 HJ8 C96 N5A 1D3 KLG 64F BEH |
Noter qu'en notation ternaire (b = 3), le cas p = 2 génère 1 comme nombre cyclique. Bien que les chiffres uniques puissent être considérés comme des cas triviaux, il peut être utile, pour la complétude de la théorie, de les considérer, mais uniquement lorsqu'ils sont générés de cette façon.
On peut démontrer qu'aucun nombre cyclique (autre que les chiffres uniques triviaux) d'aucune base arithmétique n'est un carré parfait ; ainsi il n'y a aucun nombre cyclique en base hexadécimale.
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