Fonction de Bessel

En mathématiques, et plus précisément en analyse, les fonctions de Bessel, appelées aussi quelquefois fonctions cylindriques^[1], découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel. Bessel développa l'analyse de ces fonctions en 1816 dans le cadre de ses études du mouvement des planètes induit par l'interaction gravitationnelle, généralisant les découvertes antérieures de Bernoulli. Ces fonctions sont des solutions canoniques y(x) de l'équation différentielle de Bessel :

${\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}$

Tracés des trois premières fonctions de Bessel de première espèce J.

pour tout nombre réel ou complexe α. Le plus souvent, α est un entier naturel (alors appelé l'ordre de la fonction), ou un demi-entier.

Il existe deux sortes de fonctions de Bessel :

• les fonctions de Bessel de première espèce, J_n, solutions de l'équation différentielle ci-dessus qui sont définies en 0 ;
• les fonctions de Bessel de seconde espèce, Y_n, solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une limite infinie en 0).

Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus ou cosinus, mais s'amortissent comme s'il s'agissait de fonctions sinus ou cosinus divisées par un terme de la forme √x.

Les fonctions de Bessel sont aussi connues sous le nom de fonctions cylindriques, ou d'harmoniques cylindriques, parce qu'elles font partie des solutions de l'équation de Laplace en coordonnées cylindriques (intervenant, par exemple, dans la propagation de la chaleur dans un cylindre).

Elles interviennent dans beaucoup de problèmes physiques présentant une symétrie cylindrique:

• les ondes électromagnétiques ou les ondes acoustiques dans un guide cylindrique (antenne ou tuyau) ;
• les modes de vibration d'une fine membrane circulaire ou annulaire ;
• l'étude d'instruments d'optique comme les fibres optiques constituées d'un cœur et d'une gaine optique concentriques;
• le pendule de Bessel ;
• les phénomènes de diffraction par une fente circulaire ;
• l'étude de la modulation de fréquence en télécommunications.

Expression des fonctions de Bessel

Pour les valeurs entières de α = n, les fonctions de Bessel de première espèce J_n sont définies par la série entière (de rayon de convergence infini) suivante^[2] :

${\displaystyle J_{n}(x)=\sum _{p=0}^{\infty }{(-1)^{p} \over p!(n+p)!}{\left({x \over 2}\right)}^{2p+n}}$.

Plus généralement, pour α non entier, on a le développement analogue

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}}{p!\,\Gamma (p+\alpha +1)}}{\left({x \over 2}\right)}^{2p+\alpha }}$

où Γ(z) est la fonction gamma, généralisant la fonction factorielle à des valeurs non entières.

Les fonctions de Bessel de deuxième espèce, également appelées fonctions de Neumann ou encore fonctions de Weber-Schläfli, sont définies par :

${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\lambda \to n}{J_{\lambda }(x)\cos(\lambda \pi )-J_{-\lambda }(x) \over \sin(\lambda \pi )}}$.

Intégrales de Bessel

Pour les valeurs entières de α=n, les fonctions de Bessel peuvent être représentées par des intégrales :

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,\mathrm {d} \tau }$

ou encore par^[3]:

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\rm {e}}^{-\mathrm {i} \,(n\tau -x\sin \tau )}\,\mathrm {d} \tau ={\frac {{\rm {i}}^{-n}}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }{\rm {e}}^{{\rm {i}}x\cos(\tau )}\cos(n\tau )\mathrm {d} \tau }$.

C'est la définition qu'en donna Bessel, et qui lui servit à obtenir de nombreuses propriétés de ces fonctions (à commencer par l'équation différentielle, qui en découle par différentiation sous le signe d'intégration, suivie d'une intégration par parties). Cette définition peut s'étendre au cas α non entier (pour Re(x) > 0), en ajoutant un autre terme^{[4],[5],[6],[7]}:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,{\rm {d}}\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-x\sinh(t)-\alpha t}\,{\rm {d}}t.}$

Relation avec les séries hypergéométriques

Les fonctions de Bessel peuvent également s'exprimer sous forme de série hypergéométrique comme

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {(x/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}(;\alpha +1;-{\tfrac {x^{2}}{4}})}$.

Cette expression est liée au développement des fonctions de Bessel à l'aide de la fonction de Bessel-Clifford (en).

Relation avec les polynômes de Laguerre

Notant L_k le k-ième polynôme de Laguerre, les fonctions de Bessel peuvent être exprimées ainsi^[8] :

${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {{\rm {e}}^{-t}}{\alpha$ !}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k+\alpha \choose k}}L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}} ,

où l'expression de droite ne dépend pas de t et demande, pour être généralisée au cas α non entier, l'utilisation de dérivées fractionnaires.

Propriétés des Jn

• Relations de récurrence^[9] :

  ${\displaystyle J_{\alpha -1}(z)+J_{\alpha +1}(z)={2\alpha \over z}J_{\alpha }(z)}$,

  ${\displaystyle J_{\alpha -1}(z)-J_{\alpha +1}(z)=2J'_{\alpha }(z)}$,

  ${\displaystyle J'_{\alpha }(z)=J_{\alpha -1}(z)-{\alpha \over z}J_{\alpha }(z)=-J_{\alpha +1}(z)+{\alpha \over z}J_{\alpha }(z)}$.

• On en déduit :

  ${\displaystyle J_{1}(x)=-J_{0}'(x)}$,

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n}J_{n}(x))=x^{n}J_{n-1}(x)}$.

• Orthogonalité :

  ${\displaystyle \lambda _{i}}$ et ${\displaystyle \lambda _{j}}$ étant deux zéros distincts de ${\displaystyle J_{n}}$, on a : ${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{n}(\lambda _{i}x)J_{n}(\lambda _{j}x)\,\mathrm {d} x=0}$.

J_n est souvent défini par l'intermédiaire d'une série de Laurent, correspondant à la fonction génératrice :

${\displaystyle {\rm {e}}^{(x/2)(t-1/t)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$ ;

cette approche est celle de Peter Andreas Hansen en 1843. Elle peut se généraliser à des ordres n non entiers, par l'intermédiaire, par exemple, d'intégrales de contour.

Des développements analogues; mais utilisant des séries trigonométriques, sont dus à Jacobi et Anger ; on a^[10]

${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}z\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\rm {i}}^{n}J_{n}(z){\rm {e}}^{{\rm {i}}n\phi },}$

et

${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}z\sin \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z){\rm {e}}^{{\rm {i}}n\phi }.}$

On a la formule d'addition, plus générale, par Neumann et Graf^[11]:

${\displaystyle \forall (x,y),\left|y{\rm {e}}^{\pm {\rm {i}}\phi }\right|\leqslant |x|,\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)J_{n+\nu }(y){\rm {e}}^{{\rm {i}}n\phi }=J_{\nu }\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}-2xy\cos \psi }}\right)\left({\frac {x-y{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\phi }}{x-y{\rm {e}}^{+{\rm {i}}\phi }}}\right)^{2}}$

Développements asymptotiques

Les fonctions de Bessel ont les formes asymptotiques suivantes (pour α > 0). Près de 0 (et plus précisément pour ${\displaystyle 0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$), on a^[7] :

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\approx {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\approx {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\left[\ln \left({\frac {x}{2}}\right)+\gamma \right]&{\text{si }}\alpha =0\\\displaystyle -{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{si }}\alpha >0\end{cases}}}$

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni (0,577…) et Γ est la fonction gamma. Pour x tendant vers l'infini (et plus précisément pour ${\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}$), ces développements deviennent^[7] :

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$.

La forme asymptotique ci-dessus pour J_α est aussi un équivalent pour x (complexe non nul) fixé, quand α tend vers +∞. Autrement dit^[12] :

${\displaystyle J_{\alpha }(x){\underset {\overset {\alpha \to +\infty }{}}{\sim }}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha }}}\left({\frac {\mathrm {e} \,x}{2\alpha }}\right)^{\alpha }}$.

Zéros

Comme J_α est une solution non nulle d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2, ses zéros (à l'exception éventuelle de 0) sont simples^[13], donc (cf. Relations de récurrence ci-dessus) différents de ceux de J_α+1.

Historiquement, l'étude des zéros a été menée à travers une suite de fonctions appelées aujourd'hui les fonctions de Rayleigh. On les définit comme suit : pour α > 0, on note (j_{α, m}) les zéros complexes de z^–α J_α(z), alors la fonction Rayleigh d'ordre p est définie par^[14]:

${\displaystyle \sigma _{p}(\alpha )=\sum _{m=1}^{+\infty }(j_{\alpha ,m})^{-p}.}$

La conjecture de Bourget

Bessel avait démontré que pour n entier positif, J_n(x) admet une infinité de zéros^[15]. Cependant, les graphes de J_n semblent montrer que ces zéros sont distincts pour différentes valeurs de n, en dehors de J_n(0) = 0. Ce phénomène est appelé la conjecture de Bourget^[16] ; elle fut démontrée par Carl Siegel en 1929^[6].

Transcendance

Siegel a également démontré en 1929 que lorsque α est rationnel et z est un nombre algébrique non nul, J_α(z), les nombres J_α'(z) et J_α'(z)/J_α(z) sont transcendants^[17], de même que la valeur en z de la fonction de Bessel modifiée K_α^[18]. On sait aussi que toutes les racines des dérivées d'ordre supérieur ${\displaystyle J_{\alpha }^{(n)}}$ pour n ≤ 18 sont transcendantes, sauf les cas particuliers ${\displaystyle J_{1}^{(3)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$ et ${\displaystyle J_{0}^{(4)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$^[19].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bessel function » (voir la liste des auteurs).

1. Albert Wangerin, « Fonctions cylindriques ou fonctions de Bessel », dans Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. Tome II. Cinquième volume, J. Molk (éd.), Paris, Gauthier-Villars, 1912, p. 209.
2. Démontré par exemple dans cet exercice corrigé sur Wikiversité.
3. (en) Abramowitz, Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964 (lire en ligne), Eq. 9.1.21
4. (en) U. H. Gerlach, « Linear Mathematics in Infinite Dimensions », sur Université d'État de l'Ohio, 2017, p. 337.
5. (en) Poul Olesen, « Integral representations of the Bessel function », sur Institut Niels-Bohr, 2000.
6. (en) G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2^e éd., 1995, Cambridge University Press, [lire en ligne], p. 176 et 484-485.
7. (en) George B. Arfken (en) et Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6^e éd., Harcourt, San Diego, 2005 (ISBN 0-12-059876-0).
8. (en) Gábor Szegő, Orthogonal Polynomials, 4^e éd., Providence, RI, AMS, 1975.
9. (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 361.
10. (en) Annie Cuyt, Vigdis Petersen, Brigitte Verdonk, Haakon Waadeland et William B. Jones, Handbook of Continued Fractions for Special Functions, Springer, 2008, 344 p..
11. (en) H.T. Koelink et R.F. Swarttouw, « A q-Analogue of Graf′s Addition Formula for the Hahn-Exton q-Bessel Function », Journal of Approximation Theory, vol. 81, n^o 2,‎ mai 1995, p. 260-273 (DOI 10.1006/jath.1995.1049)
12. (en) NIST Digital Library of Mathematical Functions, §10.19(i).
13. (en) Nico M. Temme, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, John Wiley & Sons, 2011 (lire en ligne), p. 241.
14. (en) Nand Kishore, « The Rayleigh function », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 14, n^o 4,‎ août 1963, p. 527-533 (JSTOR 2034269, lire en ligne)
15. (de) Friedrich Wilhelm Bessel, « Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht », Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin,‎ 1824.
16. Justin Bourget, « Mémoire sur le mouvement vibratoire des membranes circulaires », ASENS, 1^re série, vol. 3,‎ 1866, p. 55-95 (lire en ligne).
17. (en) Carl L. Siegel, On Some Applications of Diophantine Approximations: a translation of Carl Ludwig Siegel’s Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen by Clemens Fuchs, with a commentary and the article Integral points on curves: Siegel’s theorem after Siegel’s proof by Clemens Fuchs and Umberto Zannier, Scuola Normale Superiore, 2014 (ISBN 978-88-7642-520-2, lire en ligne), « Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen », p. 81–138.
18. (en) R. D. James, « Review: Carl Ludwig Siegel, Transcendental numbers », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 56, n^o 6,‎ 1950, p. 523-526 (lire en ligne).
19. (en) Lee Lorch (en) et Martin E. Muldoon, « Transcendentality of zeros of higher derivatives of functions involving Bessel functions », International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, vol. 18, n^o 3,‎ 1995, p. 551-560 (DOI 10.1155/S0161171295000706, lire en ligne).

Voir aussi

Articles connexes

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• (en) Eric W. Weisstein, « Bessel Function », sur MathWorld
• (en) « Bessel Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)

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