De la mesure du cercle

De la mesure du cercle (grec ancien : Κύκλου μέτρησις / Kúklou métrēsis) est un traité d'Archimède composé de trois propositions. Ce traité est seulement une partie de ce qui était une œuvre plus importante^[1],[2] ; il a été redécouvert en 1906 dans le palimpseste d'Archimède.

De la mesure du cercle

Une page de De la mesure du cercle publiée en latin en 1558 par Paulus Manutius à Venise.

Langue	Grec ancien
Auteur	Archimède
Genre	Traité

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Propositions

Proposition une

Le cercle et le triangle ont la même aire.

« Un cercle quelconque est égal à un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon de ce cercle, et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce même cercle^[3]. »

Autrement dit : tout cercle de circonférence c et de rayon r a même aire qu'un triangle rectangle de cathètes c et r. Cette proposition est démontrée par exhaustion^[4].

Proposition deux

« Un cercle est au carré construit sur son diamètre, à très peu de chose près, comme 11 est à 14^[3]. »

Autrement dit : le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre est presque celui de 11 à 14. Ou encore : 22/7 est une bonne approximation du nombre π.

Le cercle ${\displaystyle d}$ de rayon ${\displaystyle r}$ inscrit dans un carré ${\displaystyle c}$ de côté ${\displaystyle 2\times r}$.

Démonstration :

Soit un disque ${\displaystyle d}$ de côté ${\displaystyle r}$ et un carré ${\displaystyle c}$ de côté ${\displaystyle 2\times r}$.

${\displaystyle Aire_{d}=\pi \times {r}^{2}}$

${\displaystyle Aire_{c}={(2\times r)}^{2}=4\times {r}^{2}}$

${\displaystyle {\frac {Aire_{d}}{Aire_{c}}}={\frac {\pi \times {r}^{2}}{4\times {r}^{2}}}={\frac {\pi }{4}}\approx {\frac {11}{14}}}$

Ainsi :

${\displaystyle \pi \approx {\frac {4\times 11}{14}}={\frac {22}{7}}}$

Proposition trois

Exemples de la manière dont Archimède calcule π. Archimède utilise un polygone de 96 côtés pour son approximation.

« La circonférence d'un cercle quelconque est égale au triple du diamètre réuni à une certaine portion du diamètre, qui est plus petite que le septième de ce diamètre, et plus grande que les 10/71 de ce même diamètre^[3]. »

Autrement dit : le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est inférieur à ${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{70}}}$ mais supérieur à ${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{71}}}$.

Cette proposition revient à fournir un encadrement de π. Archimède a trouvé des majorants et minorants de π en inscrivant et en circonscrivant un cercle à deux polygones réguliers similaires de 96 côtés^[5].

Approximation de racines carrées

Cette proposition contient aussi une approximation supérieure et inférieure de √3 et d'autres approximations supérieures de racines carrées.

${\displaystyle {\tfrac {1351}{780}}>{\sqrt {3}}>{\tfrac {265}{153}}}$^[4]

Archimède ne donne pas d'explications sur la manière d'obtenir ces approximations^[2]. Cependant la simple expression graphique des fractions continues, exprimée par une suite de rectangles, permet d'obtenir ces mêmes ratios.

Figure géométrique des fractions majorantes et minorantes de racine de 3

Suite des fractions minorantes de racine de 3

Suite des fractions majorantes de racine de 3