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La cinétique du point matériel ou sans masse est une théorie définissant le mouvement d'une particule de masse[1] positive ou nulle dans un référentiel en tenant compte de son inertie (c'est-à-dire principalement de sa masse inerte).
La cinétique du point matériel apparaît sous sa forme classique[2] avec Isaac Newton (1643 - 1727) ; plus de deux siècles plus tard - en 1905 - Albert Einstein (1879 - 1955) crée la cinétique des particules matérielles sous sa forme relativiste[3] ainsi que celle du photon (base de la cinétique des particules sans masse[4]).
On définit trois grandeurs cinétiques pour décrire le mouvement d'une particule dans un référentiel en tenant compte de son inertie :
La quantité de mouvement d'une particule est usuellement notée , sa définition dépend de la cinétique utilisable :
où est la masse de la particule et sa vitesse (avec correspondant pratiquement à ).
Pour une particule ayant une masse et une vitesse (avec )[5] :
(si la masse , rendant la formule inapplicable dans le cas limite des particules de masse nulle).
Pour des particules de masse nulle (essentiellement des photons) :
la première étant de norme variable[6] et la seconde de norme constante.
Dans le système international d'unités (ou ), la norme de la quantité de mouvement s'exprime en .
Le moment cinétique d'une particule (relativement à un point du référentiel) est noté (ou ).
Ce dernier est défini comme le « moment de la quantité de mouvement calculé par rapport à »[7]
où est la position de la particule à l'instant considéré.
Dans le système international d'unités (ou ), la norme du moment cinétique d'une particule s'exprime en .
L'énergie cinétique est la seule grandeur scalaire parmi les trois principales[8], elle est usuellement notée (ou ou encore ), sa définition dépend de la cinétique utilisable :
Pour une particule de masse , de vitesse (avec ) et de facteur de Lorentz « »[9] :
le plus souvent on remplace l'utilisation de l'énergie cinétique par l'énergie totale ; celle-ci est l'énergie cinétique décalée d'une constante égale à l'énergie de masse c.-à-d. :
Pour des particules de masse nulle :
Dans le système international d'unités (ou ), l'énergie cinétique[12] s'exprime en joules de symbole .
Cette cinétique[13] s'applique aux particules ayant une masse et une vitesse telle que (où est la vitesse de la lumière dans le vide), ce qui correspond approximativement à et plus précisément à à 1 % près[14] ;
bien que la masse d'une particule soit invariante par changement de référentiel, la cinétique - comme la cinématique - dépend du référentiel.
Pour toute particule matérielle et dans tout référentiel on a défini trois grandeurs cinétiques, deux vectorielles sa quantité de mouvement ainsi que son moment cinétique relativement à O (point fixe ou mobile du référentiel) et une scalaire son énergie cinétique.
Formellement la grandeur cinétique est le produit de la grandeur cinématique et de la grandeur d'inertie , elle représente une réserve vectorielle exprimant le mouvement mais aussi l'inertie de la particule.
Formellement le moment cinétique relativement à est le produit vectoriel de « »[15] et de la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement », il représente vectoriellement une réserve exprimant le mouvement mais aussi l'inertie de la particule, le tout relativement au point .
et étant deux points quelconques (fixes ou mobiles dans le référentiel ), les moments cinétiques de la particule relativement à chaque point et sont liés entre eux par :.
Preuve : dans la définition de , on utilise la relation de Chasles d'où puis la distributivité du produit vectoriel par rapport à l'addition soit dont on tire la relation cherchée, en reconnaissant dans le dernier terme le moment cinétique relativement à , soit .
Si on choisit l'origine de calcul des moments sur la trajectoire de la particule, on a et, par définition du produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires, .
Dans le cas d'un mouvement de rotation de rayon autour du point , de vecteur rotation (ou résultante du torseur cinématique) où est la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe passant par et le vecteur unitaire de l'axe définissant le sens positif de rotation, le vecteur vitesse de la particule positionnée en à l'instant considéré s'exprime selon :
Si on reporte l'expression du vecteur vitesse dans la définition du moment cinétique en on obtient ou encore et, en utilisant la formule du double produit vectoriel , cela donne car ; finalement :
Dans le système international d'unités (ou ) le moment d'inertie s'exprime en .
Le moment d'inertie est une deuxième grandeur d'inertie introduite (la première étant la masse) et, à l'aide de cette autre grandeur d'inertie, on retrouve, dans le cas de la rotation d'une particule, la relation formelle écrite dans le cas général à savoir :
Le mouvement étant plan, on y choisit fixe ; on repère la particule par ses coordonnées polaires dans le plan du mouvement, ce plan étant orienté par le vecteur unitaire de l'axe passant par et au plan , tel que la base cartésienne , choisie orthonormée, soit directe [base encore notée ] ; la base polaire associée à la particule est notée ou , c'est un cas particulier de la base cylindrique d'axe notée ou également directe ;
la particule, positionnée en à l'instant considéré, a un vecteur position et un vecteur vitesse ou ;
on en déduit soit, avec la distributivité du produit vectoriel par rapport à l'addition et avec ainsi qu'avec , on obtient l'expression suivante :
L'énergie cinétique (encore notée ou ) peut être définie à partir de la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement », et de la grandeur d'inertie associée, « la masse », selon c.-à-d. formellement la moitié du quotient du carré de la grandeur cinétique sur la grandeur d'inertie associée ;
on élimine aisément la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement », au profit des premières grandeurs cinématique et d'inertie, « la vitesse et la masse », par utilisation de , d'où et on obtient la définition équivalente c.-à-d. formellement la moitié du produit du carré de la grandeur cinématique par la grandeur d'inertie associée ;
on dispose aussi d'une troisième définition équivalente n'utilisant pas la masse, obtenue par soit finalement , c.-à-d. formellement la moitié du produit scalaire de la grandeur cinétique et de la grandeur cinématique associée .
Pour induire l'expression de l'énergie cinétique on peut utiliser la méthode formelle indiquée ci-dessus, sachant que, dans le cas d'une rotation, la grandeur cinématique intéressante est le vecteur rotation , la grandeur cinétique associée, le moment cinétique relativement au centre de rotation et la grandeur d'inertie correspondante, le moment d'inertie relativement à l'axe de rotation d'où :
l'énergie cinétique est la moitié du quotient du carré de la grandeur cinétique sur la grandeur d'inertie associée , soit ;
l'énergie cinétique est la moitié du produit du carré de la grandeur cinématique par la grandeur d'inertie associée , soit ;
l'énergie cinétique est la moitié du produit scalaire de la grandeur cinétique et de la grandeur cinématique associée , soit .
Pour démontrer ces expressions on peut partir de la définition en y reportant l'expression de la vitesse dans le cas d'un mouvement circulaire , on obtient dans laquelle on reconnaît le produit mixte de trois vecteurs ; on utilise alors l'invariance du produit mixte par permutation circulaire c.-à-d. d'où soit ; le remplacement de par donne la première expression alors que le remplacement de par fournit la seconde.
Dans le cas d'une rotation on peut donc aussi utiliser les trois expressions suivantes de l'énergie cinétique :
On choisit dans le plan du mouvement et on y repère la particule par ses coordonnées polaires , le plan du mouvement étant orienté par le vecteur unitaire de l'axe passant par et au plan ; la base polaire associée à la particule est notée ou , c'est un cas particulier de la base cylindrique d'axe notée ou base directe ;
la particule, positionnée en à l'instant considéré, ayant un vecteur vitesse on en déduit l'expression de son énergie cinétique par en utilisant :
La cinétique relativiste[19] s'est développée quasi simultanément à la cinématique et la dynamique relativistes ; cette dernière repose sur deux postulats, appelés postulats d'Einstein (1905) :
En théorie classique, le caractère galiléen d'un référentiel n'intervient que dans la dynamique [en effet la cinétique est définie dans n'importe quel référentiel, qu'il soit galiléen ou pas, mais pour décrire simplement son évolution éventuelle connaissant ses causes de variation - c.-à-d. pour faire de la dynamique - il est exigé que le référentiel soit galiléen] ;
en théorie relativiste (ou relativité restreinte), on retrouve cette exigence concernant la dynamique - mais aussi toutes les lois de la physique - dans le premier postulat ; quant au second postulat, il concerne a priori l'électromagnétisme (nécessité que les référentiels soient galiléens pour écrire simplement les équations de Maxwell dans le vide, les changements de référentiels galiléens du champ électromagnétique étant décrits par ses transformations de Lorentz, lesquelles se retrouvent sous une forme semblable en cinétique du point).
Pour une particule de masse et de vitesse dans un référentiel spatio-temporel avec , la quantité de mouvement définie précédemment, peut être réécrite en introduisant la vitesse relative de la particule dans le référentiel d'étude de norme , permettant de simplifier l'écriture du facteur de Lorentz en , soit finalement :
L'unité de norme de quantité de mouvement du le est mal adaptée pour des particules élémentaires compte tenu de la petitesse des valeurs de masse ; on utilise fréquemment une unité dérivée le en introduisant la grandeur homogène à une énergie c.-à-d. avec énergie de masse de la particule, usuellement exprimée en mégaélectron-volt de symbole [ ] ; ainsi une quantité de mouvement de norme égale à correspond à une grandeur de norme égale à .
Dans le domaine des faibles vitesses c.-à-d. que la norme de la vitesse relative peut être considérée comme un infiniment petit ; on peut alors faire un développement limité de la norme de à l'ordre le plus bas non nul en et, la grandeur étant proportionnelle à l'infiniment petit , il suffit de faire le « développement limité de à l'ordre zéro »[20] soit et par suite
Avec cette approximation l'erreur commise sur la norme de la quantité de mouvement est , soit encore et elle peut être estimée en poussant le « développement limité de à l'ordre un en »[21] ;
de façon à utiliser la première formule du formulaire des développements limités des fonctions usuelles au voisinage de zéro développement limité à l'ordre un en l'infiniment petit ou, écrit de façon plus succincte (et donc moins précise) , on réécrit le facteur de Lorentz selon et son développement limité à l'ordre un en donne :
; cette dernière est inférieure à si soit ; on vérifie ainsi que l'expression classique de la quantité de mouvement reste applicable à près si .
Pour obtenir l'expression relativiste du moment cinétique d'une particule relativement à , il suffit de reporter l'expression relativiste de la quantité de mouvement dans la définition du moment cinétique soit « »[22].
Pour une particule de masse , de vitesse (avec ) et de facteur de Lorentz « »[9] l'énergie cinétique a été définie, en fonction du facteur de Lorentz avec vitesse relative de la particule, selon : ;
le plus souvent on remplace l'utilisation de l'énergie cinétique par celle de l'énergie totale avec énergie de masse de la particule, d'où : .
L'unité d'énergie du le est mal adaptée pour des particules élémentaires ; on utilise souvent le mégaélectron-volt de symbole
[][23].
Dans le domaine des faibles vitesses , la norme de la vitesse relative peut être considérée comme un infiniment petit ; on peut alors faire un développement limité de à l'ordre le plus bas non nul et, comme le facteur de Lorentz ne fait intervenir que le carré de la norme de la vitesse relative , on prendra comme infiniment petit, il suffit donc de « faire le développement limité de à l'ordre un en »[24] ;
l'erreur commise sur la norme de la quantité de mouvement en adoptant son expression classique étant et ayant aussi nécessité le développement limité de à l'ordre un en , il suffit de reprendre ce dernier[25] d'où dont on déduit et par suite
Avec cette approximation l'erreur commise sur l'énergie cinétique est , soit encore et elle peut être estimée en poussant le « développement limité de à l'ordre deux en »[26] ;
de façon à utiliser la première formule du formulaire des développements limités des fonctions usuelles au voisinage de zéro développement limité à l'ordre deux en l'infiniment petit ou, écrit de façon plus succincte (et donc moins précise) , on réécrit le facteur de Lorentz selon et son développement limité à l'ordre deux en donne :
la valeur absolue de cette dernière est inférieure à si soit ; l'expression classique de l'énergie cinétique reste applicable à près « si »[27].
La quantité de mouvement et l'énergie cinétique (ou totale) d'une particule ont été définies à partir de sa vitesse ; éliminons la vitesse de façon à trouver un lien entre quantité de mouvement et énergie cinétique (ou totale) ; de et de , on déduit aisément l'expression de la vitesse relative en fonction des grandeurs cinétiques et :
reportant cette expression de vitesse relative dans le facteur de Lorentz , on obtient ou, étant d'autre part égal à , soit ou, en élevant au carré, on en déduit soit finalement, l'énergie totale étant positive : .
L'énergie cinétique s'obtient alors en retranchant l'énergie de masse soit .
Les particules de masse nulle sont purement énergétiques, l'exemple le plus connu est le photon[28] ; dans la dualité onde-corpuscule, un photon est la particule duale d'une onde électromagnétique ;
les particules de masse nulle se déplacent dans tout référentiel galiléen à la vitesse limite laquelle s'identifie, dans la mesure où la masse théorique du photon est effectivement nulle[28], à la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide.
Ces particules sans masse n'ayant évidemment pas d'énergie de masse, la seule énergie qu'on peut leur associer est une énergie liée à leur mouvement c.-à-d. l'énergie cinétique et, comme l'énergie de masse , c'est aussi l'énergie totale soit ;
c'est l'une des grandeurs cinétiques la plus facile à introduire pour une particule de masse nulle [par exemple un photon associé à une onde électromagnétique de fréquence possède une énergie où est la constante de Planck] ;
L'unité d'énergie du le est mal adaptée pour des particules élémentaires de masse nulle ; on utilise l'électron-volt de symbole
[] pour les photons associés aux ondes lumineuses ou un multiple pour les particules plus énergétiques.
Dans la cinétique des particules matérielles relativistes il existe une relation entre grandeurs cinétiques dont la recherche de limite quand , ne conduit pas à une forme indéterminée c'est ; on prolonge la validité de cette formule aux particules de masse nulle et on en déduit ; la direction et le sens de déplacement de la particule de masse nulle sont choisies pour définir la direction et le sens de sa quantité de mouvement d'où :
L'unité de norme de quantité de mouvement du le est mal adaptée pour des particules de masse nulle ; comme cette norme s'identifie à l'énergie au facteur près, on utilise l'unité dérivée l' ; ainsi une quantité de mouvement de particule de masse nulle de norme égale à correspond à une énergie de valeur égale à .
L'espace de Minkowski est un espace affine pseudo-euclidien à quatre dimensions, modélisant l'espace-temps de la relativité restreinte ;
la position d'une particule à un instant donné nécessitant la connaissance de « trois coordonnées spatiales et d'une temporelle »[29] et, le temps de la relativité restreinte n'étant plus un temps absolu mais un temps relatif[30], l'affichage des quatre coordonnées spatio-temporelles est facilité dans le repère de Minkowski associé au référentiel d'espace-temps dans lequel on étudie la particule[31].
L'espace de Minkowski étant un espace affine de dimension quatre, il nécessite la donnée d'une origine spatio-temporelle[32] et d'un espace vectoriel (dit associé) de dimension quatre (sur ).
Cette structure est complétée par la donnée, sur l'espace vectoriel associé[33], d'une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée, notée « ou »[34] : on suppose qu'il existe une base vectorielle [35] telle que dans lequel « »[36] et « »[36].
Comme pour toute forme bilinéaire, il lui correspond une forme quadratique définissant le carré de la pseudo-norme ou de la pseudo-métrique : « »[36][37].
Dans l'espace affine, les coordonnées du point spatio-temporel[38] , sont définies par [39] et on définit la distance entre deux points spatio-temporels[38] (distance encore appelée intervalle d'espace-temps) par grâce à la pseudo-métrique de l'espace de Minkowski dont le carré est égale au carré de la pseudo-norme du quadrivecteur « »[40], soit , cette dernière expression pouvant être écrite plus simplement « »[41].
L'explicitation du carré de l'intervalle d'espace-temps entre les deux événements ponctuels donne, dans la base , ; on peut, à l'aide des deux principes de la relativité restreinte, établir l'invariance du carré de l'intervalle d'espace-temps entre deux événements ponctuels par changement de référentiel spatio-temporel ; on distingue alors le cas où correspondant à la possibilité d'un lien causal entre les deux événements, du cas où interdisant tout lien causal entre ces événements[42] ;
On trouve aussi le choix où le dernier vecteur de base est temporel[43] correspondant à la base vectorielle [44] ; avec et dans la base précédemment définie, on introduit, sur l'espace vectoriel associé, une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée, notée ou à laquelle on fait correspondre une forme quadratique définissant le carré de la pseudo-norme ou de la pseudo-métrique : « »[45].
Les coordonnées du point spatio-temporel[38] , sont définies par [46] dans l'espace affine de Minkowski, et on définit la distance entre deux points spatio-temporels[38] (distance encore appelée intervalle d'espace-temps) par grâce à la pseudo-métrique de l'espace de Minkowski dont le carré est égale au carré de la pseudo-norme du quadrivecteur , soit , cette dernière expression s'écrivant plus simplement .
L'explicitation du carré de l'intervalle d'espace-temps entre les deux événements ponctuels donne, dans la base , c.-à-d. l'opposé de ce qu'on trouvait avec le choix de la base ; comme avec l'autre choix de base, on peut affirmer l'invariance du carré de l'intervalle d'espace-temps entre deux événements ponctuels par changement de référentiel spatio-temporel et distinguer le cas où correspondant à la possibilité d'un lien causal entre les deux événements et le cas où interdisant tout lien causal entre ces événements ;
Si on s'intéresse au choix de base vectorielle dans l'espace vectoriel de dimension quatre défini sur associé à l'espace de Minkowski, ainsi qu'au choix correspondant de pseudo-norme avec , les trois composantes spatiales et la composante de temps étant réelles, on peut être tenté de modifier la définition de l'espace vectoriel associé dans le but d'aboutir à une pseudo-norme semblable à la norme euclidienne de carré , ceci pouvant être réalisé en imposant ou
« »[47] soit ;
ainsi, à condition de définir la quatrième composante de temps du quadrivecteur dans , les trois composantes spatiales restant réelles c.-à-d. , la pseudo-norme définie dans l'espace vectoriel associé à l'espace de Minkowski a un carré s'écrivant « »[48] ; de nos jours, cette définition de l'espace vectoriel associé à l'espace de Minkowski introduisant des quadrivecteurs à composante de temps imaginaire pure est peu utilisée.
Les coordonnées du point spatio-temporel[38] , sont définies par dans l'espace affine de Minkowski, et on définit la distance entre deux points spatio-temporels[38] (distance encore appelée intervalle d'espace-temps) par grâce à la pseudo-métrique de l'espace de Minkowski dont le carré est égale au carré de la pseudo-norme du quadrivecteur , soit , cette dernière expression s'écrivant plus simplement .
L'explicitation du carré de l'intervalle d'espace-temps entre les deux événements ponctuels donne, dans la base , c.-à-d. exactement le même résultat que celui obtenu dans la sous-section précédente ; on peut donc en tirer exactment les mêmes conclusions...
Le choix entre une pseudo-métrique de signature et des quadrivecteurs à composante temporelle réelle d'une part et d'autre part une pseudo-métrique de signature semblable à une norme euclidienne mais des quadrivecteurs à composante temporelle imaginaire pure n'est qu'une question de préférence[49].
L'ensemble des transformations affines de l'espace de Minkowski qui laissent invariante la pseudo-métrique[50] forme un groupe nommé groupe de Poincaré dont les transformations de Lorentz forment un sous-groupe.
Nous reprenons temporairement la distinction particule matérielle et particule de masse nulle dans un référentiel d'espace-temps auquel on associe un espace de Minkowski pour finalement aboutir à une introduction commune - à condition de laisser de côté la notion de vitesse de la particule.
Dans un référentiel spatio-temporel, la quantité de mouvement d'une particule de masse et de vitesse se simplifie en fonction de sa vitesse relative
« »[51] et de son facteur de Lorentz associé « »[52], en : .
Dans le même référentiel d'espace-temps, l'énergie totale de la particule de masse et de vitesse s'exprime simplement en fonction de son facteur de Lorentz « »[52], étant la norme de sa vitesse relative, selon : .
Dans l'espace de Minkowski associé au référentiel d'espace-temps, et avec le choix d'une base vectorielle [53] on définit le quadrivecteur quantité de mouvement-énergie de la particule[54] selon « »[36] avec sa composante d'énergie totale[55] et ses composantes de quantité de mouvement, sa pseudo-norme étant de carré défini par ;
pour que la grandeur définie par soit effectivement un quadrivecteur, la grandeur censée correspondre à sa pseudo-norme doit être un invariant par changement de référentiel, or et reportées dans l'expression devant correspondre au carré de la pseudo-norme donne soit enfin, avec , où est l'énergie de masse de la particule (effectivement invariante par changement de référentiel) ;
l'invariant relativiste du quadrivecteur quantité de mouvement-énergie permet de retrouver le lien entre énergie totale et quantité de mouvement du § 3.4
car se réécrit ou soit enfin, l'énergie totale étant positive, .
Dans un référentiel spatio-temporel, la quantité de mouvement d'une particule de masse nulle se détermine à partir de son énergie (totale ou cinétique, car il n'y a pas d'énergie de masse) selon : où est la norme de la vitesse limite (également celle de la vitesse de la particule) et un vecteur unitaire dans la direction et le sens du mouvement de la particule.
On en déduit aisément le quadrivecteur quantité de mouvement-énergie de la particule par ou encore et on vérifie le caractère quadrivectoriel de la grandeur introduite car le paramètre censé correspondre à sa pseudo-norme est invariant par changement de référentiel, en effet l'utilisation du lien entre et donne évidemment invariant.
Ainsi que la particule soit matérielle ou de masse nulle, on peut lui associer un quadrivecteur quantité de mouvement-énergie dont le carré de la pseudo-norme est l'invariant relativiste c.-à-d. le carré de l'énergie de masse divisée par si la particule est matérielle ou si elle est sans masse.
La cinématique est l'étude du mouvement indépendamment de toute notion physique, c'est donc une partie des mathématiques introduite sans faire intervenir l'inertie de l'objet.
La cinétique est l'étude du mouvement en tenant compte de l'inertie de l'objet : ainsi une mouche et un camion de quinze tonnes seront décrits par la même cinématique s'ils ont le même mouvement mais ils n'auront évidemment pas la même cinétique (en dehors de toute action sur l'objet, on ne pourra pas les distinguer - ils ont la même cinématique - mais dès lors que l'on souhaite modifier leur cinématique, il faudra imposer une action nettement plus grande sur le camion de quinze tonnes que sur la mouche prouvant qu'ils n'ont pas la même cinétique).
La dynamique est l'étude du lien existant entre la cinétique et les causes la modifiant ; ces causes dépendent des grandeurs cinétiques introduites :
L'étude faite dans cet article peut être prolongée :
Il est aussi possible de prolonger la définition de la quantité de mouvement ou du moment cinétique dans le cadre de la mécanique analytique, voir la notion d'impulsion généralisée et en particulier voir quand celle-ci s'identifie à la quantité de mouvement ou au moment cinétique.
Enfin la grandeur cinétique impulsion ou moment cinétique de la mécanique analytique se prolonge en opérateur impulsion ou moment cinétique de la mécanique quantique, voir l'opérateur impulsion de la mécanique quantique.
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