Quadri-moment

En relativité restreinte, le quadrimoment^[1], quadri-moment^[2] (ou quadrivecteur impulsion^[2] ou quadri-impulsion^[3] ou quadrivecteur impulsion-énergie^[4] ou quadrivecteur énergie-impulsion^[5]) est une généralisation du moment linéaire tridimensionnel de la physique classique sous la forme d'un quadrivecteur de l'espace de Minkowski, espace-temps à 4 dimensions de la relativité restreinte.

Le quadri-moment d'une particule combine le moment tridimensionnel ${\displaystyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})}$ et d'énergie ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p^{0}\\p^{1}\\p^{2}\\p^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma mc\\\gamma mv_{x}\\\gamma mv_{y}\\\gamma mv_{z}\end{pmatrix}}}$.

Comme tout quadrivecteur, il est covariant, c'est-à-dire que les changements de ses coordonnées lors d'un changement de référentiel inertiel se calculent à l'aide des transformations de Lorentz.

Dans une base donnée de l'espace-temps de Minkowski, ses coordonnées sont notées ${\displaystyle \ \left(p^{0};p^{1};p^{2};p^{3}\right)}$, dans la base covariante associée, ses coordonnées sont notées ${\displaystyle \ \left(p_{0};p_{1};p_{2};p_{3}\right)}$ et sont telles que ${\displaystyle \ p_{i}=\eta _{ij}.p^{j}}$.

En relativité restreinte, l'énergie et la quantité de mouvement d'une particule sont les composantes d'un unique quadrivecteur^{[6],[7],[8],[9]} (4-vecteur). Il est surtout connu comme le quadrivecteur énergie-impulsion^{[N 1]} (4-vecteur énergie-impulsion). Il est noté ${\displaystyle p}$^{[N 2]}.

La 4-impulsion d'une particule est un 4-vecteur tangent à la ligne d'univers de la particule^[18] et orienté vers le futur^[18],[19] ; il est de genre temps dans le cas d'une particule massive^{[19],[20],[21]} et de genre lumière dans celui d'une particule sans masse^[19],[21] ; il est non-unitaire^[22]. La 4-impulsion totale d'un système isolé de particules est soit un 4-vecteur de genre temps orienté vers le futur, soit un 4-vecteur de genre lumière orienté vers le futur^[23] ; ce dernier cas ne se produit que pour un système isolé constitué uniquement de particules sans masse et dont les 4-impulsions sont toutes colinéaires^[23]. Les composantes de la 4-impulsion sont homogènes à une quantité de mouvement^[18].

Le carré de la pseudonorme du quadrivecteur conduit à la relation d'Einstein^{[24],[25],[26],[27]} :

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$,

reliant l'énergie, la masse et l'impulsion^[27]. Lorsque la masse de la particule libre est non nulle mais que son impulsion est nulle, la relation se réduit à ${\displaystyle E=mc^{2}}$^[27]. Lorsque la masse de la particule libre est nulle, comme c'est le cas d'un photon, la relation se réduit à ${\displaystyle E=pc}$^[28]. La relation met en évidence qu'en relativité restreinte, la masse est une grandeur invariante^{[29],[30],[31],[32]} et conservée^{[30],[32],[33]} mais non additive^{[30],[32],[33],[34],[35],[36]}.

La 4-impulsion est une des notions introduites par Hermann Minkowski^{[37],[38],[39]}.

Dénominations

La dénomination « quadrivecteur énergie-quantité de mouvement » reste usitée^[40]. Mais, en raison notamment de sa longueur^[41], des auteurs lui substituent celle de « quadrivecteur énergie-impulsion »^[13],[14] ou de « quadrivecteur impulsion-énergie »^[42]. Cela est discutable car « impulsion » devrait être réservé à « l'action d'une force pendant un court intervalle de temps » et ainsi à « une variation de quantité de mouvement »^[41].

Relation avec la quadrivitesse

Nous savions qu'en mécanique classique, la relation entre l'impulsion et la vitesse de la particule non-relativiste est la suivante :

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$ où ${\displaystyle m}$ correspond à la masse au repos.

Nous pouvons généraliser ce concept à quatre dimensions en introduisant la quadrivitesse. Pour une particule dotée de masse non nulle mais ayant une charge électrique nulle, le quadri-moment est donné par le produit de la masse au repos ${\displaystyle \ m}$ et de la quadrivitesse ${\displaystyle \ u}$.

En coordonnées contravariantes, on a ${\displaystyle \ u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\left(\gamma .c,\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z}\right)}$, où ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}}$ est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière :

${\displaystyle p^{\mu }=m\,u^{\mu }\!}$ où ${\displaystyle \mu \in {\big \{}0,1,2,3{\big \}}}$

Norme de Minkowski : p2

En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz égal (à un facteur égal à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule :

${\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }={E^{2} \over c^{2}}-|{\vec {p}}|^{2}=m^{2}c^{2}}$

Puisque ${\displaystyle |p|^{2}\!}$ est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par changement de référentiel inertiel.

En utilisant la métrique de Minkowski :

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$.

Le tenseur métrique est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(-,+,+,+)}$ au lieu de la convention ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=(+,-,-,-)}$ adoptée dans cet article^{[N 3]}. Les résultats physiques sont évidemment les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger.

Interprétation

À l'approximation des faibles vitesses, la composante temporelle de la 4-impulsion se réduit à^[43] :

${\displaystyle p^{0}c=E=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}}$,

où :

• ${\displaystyle mc^{2}}$ est l'énergie de masse^[44] ;
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv}$ est l'énergie cinétique^[45].

À la même approximation, les trois composantes spatiales de la 4-impulsion se réduisent à^[46] :

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$,

qui est l'expression classique de la quantité de mouvement^[47].

Vitesse observée

La 4-impulsion permet de définir la vitesse observée d'une particule à partir de la relation^[48] :

${\displaystyle {\frac {\vec {p}}{E}}={\frac {\vec {v}}{c^{2}}}}$,

soit :

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {{\vec {p}}c^{2}}{E}}}$.

Conservation du quadri-moment

La conservation du quadri-moment dans un référentiel donné^{[N 4]} implique deux lois de conservations pour des quantités dites classiques :

1. La quantité totale d'énergie ${\displaystyle \ E=c.p^{0}}$ est invariante.
2. Le moment linéaire classique tridimensionnel ${\displaystyle {\vec {p}}}$ reste invariant.

On notera au passage que la masse d'un système de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'énergie cinétique. Par exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {5 Gev, 4 Gev/c, 0, 0} et {5 Gev, -4 Gev/c, 0, 0} : elles ont chacune une masse au repos de 3 Gev/c² mais leur masse totale (soit encore la masse du système) est de 10 Gev/c². Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi formé est de 10 Gev/c².

Une application pratique en physique des particules de la conservation de la masse au repos permet, à partir des quadri-moments p^A et p^B de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule initiale. La conservation du quadrimoment donne q_μ = p^A_μ + p^B_μ, et la masse M de la particule initiale est donnée par |q|² = M²c². En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du système des 2 particules qui est égal à M. Cette technique est notamment utilisée dans les recherches expérimentales sur le boson Z dans les accélérateur de particules.

Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la quadri-accélération correspondante A^μ est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule:

${\displaystyle p_{\mu }A^{\mu }=p_{\mu }{\frac {d}{dt}}{\frac {\eta ^{\mu \nu }p_{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}|p|^{2}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}(m^{2}c^{2})=0}$.

Moment canonique en présence d'un champ électromagnétique

Il est également utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en mécanique quantique relativiste : ${\displaystyle P^{\mu }}$, qui est la somme du quadri-moment et du produit de la charge électrique avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions) :

${\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }\!}$,

où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur du champ magnétique :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi /c\\A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}}$.