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En mathématiques, une application non expansive entre espaces normés est une application 1-lipschitzienne. Il s'agit donc du cas limite des applications contractantes, qui sont les applications k-lipschitziennes pour un k < 1.
Contrairement aux applications contractantes, les applications non expansives n'ont pas nécessairement de point fixe (par exemple, une translation de vecteur non nul est non expansive et n'a pas de point fixe). Par ailleurs, même si une application non expansive T a un point fixe, une suite d'itérés Tk(x) ne converge pas nécessairement vers un tel point (c'est le cas pour une symétrie centrale) ; on peut toutefois obtenir des résultats de convergence vers un point fixe d'au moins deux manières : soit en imposant des conditions plus restrictives sur l'application (sans toutefois aller jusqu'à la contraction), soit en modifiant la suite des itérés.
Soient un espace normé, un fermé de et une application (non nécessairement linéaire).
Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, une application fermement non expansive est non expansive ; elle est aussi monotone.
On rappelle qu'un espace strictement convexe est un espace normé dans lequel : .
Convexité de l'ensemble des points fixes[2] — Si
alors l'ensemble des points fixes de est un convexe (éventuellement vide).
Théorème du point fixe de Browder — Si
alors a un point fixe.
On s'intéresse ici, pour une application non expansive T, à la convergence des « approximations successives » Tk(x) vers un point fixe éventuel.
Théorème d'Opial (pl)[3] — Si est un espace de Hilbert, si est un convexe fermé de et si est une application vérifiant les propriétés suivantes :
alors, pour tout , la suite converge faiblement vers un point fixe de .
Ce résultat ne peut pas être généralisé à tous les espaces uniformément convexes.
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