Point fixe

En mathématiques, pour une application ${\displaystyle f}$ d'un ensemble E dans lui-même, un élément ${\displaystyle x}$ de E est un point fixe de ${\displaystyle f}$ si ${\displaystyle f(x)=x}$. Exemples :

• dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A ;
• l'application inverse (définie sur l'ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : –1 et 1, solutions de l'équation ${\displaystyle {\frac {1}{x}}=x}$ équivalente à l'équation ${\displaystyle x^{2}=1}$.

Courbe d'une fonction avec 3 points fixes.

Graphiquement, les points fixes d'une fonction ${\displaystyle f}$ (d'une variable réelle, à valeurs réelles) sont les points d'intersection de la droite d'équation ${\displaystyle y=x}$ avec la courbe d'équation ${\displaystyle y=f(x)}$.

Toutes les fonctions n'ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction x ↦ x + 1 n'en possède pas, car il n'existe aucun nombre réel x égal à x + 1.

Pour une fonction f définie sur E et à valeurs dans ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$, un point fixe est un élément x de E tel que ${\displaystyle x\in f(x)}$, comme dans le théorème du point fixe de Kakutani.

Point fixe et suites récurrentes

On considère une fonction continue ${\displaystyle f:E\to E}$ et ${\displaystyle (u_{n})}$ une suite récurrente définie par sa valeur initiale ${\displaystyle u_{0}}$ et par la relation de récurrence ${\displaystyle u_{n+1}=f(u_{n})}$. Si ${\displaystyle (u_{n})}$ converge vers un élément ${\displaystyle {\mathcal {l}}}$ de E^[1], la limite ${\displaystyle {\mathcal {l}}}$ est nécessairement un point fixe de f.

Une telle suite ne converge pas forcément, même si f possède un point fixe.

Point fixe attractif

Un point fixe attractif d'une application f est un point fixe x₀ de f tel qu'il existe un voisinage V de x₀ sur lequel la suite de nombres réels

${\displaystyle x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))),\ \dots }$

(pour tout x dans le voisinage V) converge vers x₀.

Si la fonction f possède une dérivée f' continue et |f '(x₀)| < 1 alors le point fixe x₀ est attractif. La démonstration est basée sur le théorème du point fixe de Banach.

Par exemple, la fonction cosinus admet un unique point fixe x₀ ≈ 0,7390851332, qui est attractif car sin(x₀) < 1 (voir le nombre de Dottie).

Cependant, tous les points fixes d'une fonction ne sont pas nécessairement attractifs. Ainsi, la fonction réelle x ↦ x² + x possède un unique point fixe en 0, qui n'est pas attractif.

Les points fixes attractifs sont un cas particulier du concept mathématique d'attracteur.

Théorèmes du point fixe

Il existe plusieurs théorèmes permettant de déterminer qu'une application satisfaisant à certains critères possède un point fixe. Le plus connu est le suivant :

Théorème du point fixe de Banach — Soient E un espace métrique complet et f : E → E une application contractante (c'est-à-dire k-lipschitzienne pour un certain k < 1). Alors f possède un unique point fixe. De plus, ce point fixe est attractif.

Plus précisément, ce théorème assure que toute suite de la forme ${\displaystyle u_{n+1}=f(u_{n})}$ converge vers ce point fixe ${\displaystyle l}$ et que ${\displaystyle d(u_{n},l)\leqslant k^{n}d(u_{0},l)}$ ce qui majore la vitesse de convergence de la suite.

Utilisation en automatique

En automatique, un système de régulation contrôle une valeur ou propriété de telle façon qu'elle tende à converger vers un point fixe nommé consigne, défini par l'opérateur ou une autre partie du système. On parle par exemple de régulation de position, régulation de température, régulation de vitesse…

Note

1. Cette hypothèse que la limite de la suite appartient au domaine de définition de la fonction est indispensable : Daniel Perrin, « Un contre-exemple », sur Laboratoire de mathématiques d'Orsay.

Articles connexes

• Autorégulation
• Point fixe en lambda-calcul

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