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traité mathématique et géométrique d'Euclide De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Les Éléments (en grec ancien Στοιχεία / stoïkheïa) est un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, probablement écrit par le mathématicien grec Euclide vers Il comprend une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitifs.
Titre original |
(grc) Στοιχεῖα |
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L'ouvrage est le plus ancien exemple connu d'un traitement axiomatique et systématique de la géométrie et son influence sur le développement de la logique et de la science occidentale est fondamentale. Il s'agit probablement du recueil qui a rencontré le plus de succès au cours de l'Histoire : les Éléments furent l'un des premiers livres imprimés (Venise, 1482) et n'est surpassé que par la Bible pour le nombre d'éditions publiées (largement plus de 1 000). Pendant des siècles, il a fait partie du cursus universitaire standard.
La méthode d'Euclide a consisté à fonder ses travaux sur des définitions, des « demandes » (postulats), des « notions ordinaires » (axiomes) et des propositions (problèmes résolus, au nombre de 470 au total dans les treize livres). Par exemple, le livre I contient 35 définitions (point, ligne, surface, etc.), cinq postulats et cinq notions ordinaires.
Selon le mathématicien, François Peyrard (1759-1822) et le physicien Leonard Mlodinow (1954-), les notions se reportent ainsi[1] :
Le succès des Éléments est dû principalement à sa présentation logique et organisée. L'utilisation systématique et efficace du développement des démonstrations à partir d'un jeu réduit d'axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles.
Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entourèrent les axiomes et les démonstrations d'Euclide. Néanmoins, les Éléments restent une œuvre fondamentale dans l'histoire des sciences et furent d'une influence considérable. Les scientifiques européens Nicolas Copernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei et particulièrement Isaac Newton furent tous influencés par les Éléments et appliquèrent leur connaissance du livre à leurs propres travaux. Certains mathématiciens (Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) et philosophes (Baruch Spinoza) ont également tenté d'écrire leurs propres Éléments, des structures déductives axiomatiques appliquées à leurs disciplines respectives.
Des cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, dont on déduit le postulat des parallèles : « en un point extérieur à une droite, ne passe qu'une unique droite qui lui est parallèle », a toujours semblé moins évident que les autres. Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent qu'il pouvait être démontré à partir des autres postulats, mais toutes les tentatives pour ce faire échouèrent. Vers le milieu du XIXe siècle, il fut démontré qu'une telle démonstration n'existe pas, que le cinquième postulat est indépendant des quatre autres et qu'il est possible de construire des géométries non euclidiennes cohérentes en prenant sa négation[2].
Les spécialistes estiment que les Éléments sont en grande partie une compilation de propositions basées sur des ouvrages de mathématiciens grecs antérieurs[3].
Proclus (412-485), un mathématicien grec qui a vécu environ sept siècles après Euclide, a écrit dans son Commentaire sur le premier livre des Éléments d’Euclide : « Euclide, qui a rassemblé les Éléments, rassemblant de nombreux théorèmes d'Eudoxe, perfectionnant de nombreux théorèmes de Théétète, et apportant également une démonstration irréfutable des choses qui n'avaient été que vaguement prouvées par ses prédécesseurs ».
Pythagore (vers 570-495 av. J.-C.) est probablement à l'origine de la plupart des propriétés des livres I et II, Hippocrate de Chios (vers 470-410 av. J.-C., et non Hippocrate de Kos, mieux connu) du livre III, et Eudoxe de Cnide (vers 408-355 av. J.-C.) du livre V, tandis que les livres IV, VI, XI et XII proviennent probablement d'autres mathématiciens pythagoriciens ou athéniens[4].
L’ouvrage d’origine, probablement écrit sur des rouleaux de papyrus, a été perdu, comme tous ceux de cette époque. Un ancien manuscrit sur parchemin, un fragment palimpseste dans un manuscrit syriaque, est répertorié London British Library Add. 17211[5]. Il est encore écrit en écriture majuscule et date du VIIe-VIIIe siècle). On peut y lire quelques portions de propositions du Livre X et une du Livre XIII[6].
Les deux plus anciens manuscrits quasi complets qui nous sont parvenus datent du IXe siècle, après la translittération byzantine de l'écriture majuscule à l'écriture minuscule[7]. Le Oxford, Bodleian Library, D’Orville 301 est le seul daté : sa copie a été commandée au clerc Stéphane par Aréthas, alors diacre, et achevée en apr. J.-C.[7],[8]. Le Vaticanus græcus 190, copié autour de 830-850[6], est le seul manuscrit d'importance indépendant de l'édition des Éléments par Théon d'Alexandrie, comme l'a découvert François Peyrard au début du XIXe siècle[9]. Celui-ci l'identifie à Paris parmi les manuscrits dérobés par Gaspard Monge à la bibliothèque vaticane lors de la campagne d’Italie du futur Napoléon Ier[9]. Le manuscrit était probablement présent à la bibliothèque depuis le XVe siècle[9] (et lui fut rendu).
Avant cela, nous disposons d’une part de fragments de papyrus et d’autre part de commentaires, références ou citations faits dans d’autres ouvrages par d’autres auteurs de l’antiquité.
Pour les papyrus, B. Vitrac en répertorie sept dont quatre portent sur le livre 1 »[10]. Le plus célèbre est le Papyrus Oxyrhynchus 29[11] (75-125 apr. J.-C.), contenant la proposition 5 du livre 2 et un un diagramme non identifié. B. Vitrac cite aussi le Papyrus Fayûm 9 (IIe siècle)[12], contenant des portions des Propositions (pas de reproduction trouvée sur le net). J. L. Heiberg (voir plus bas), l’éditeur de la version moderne de référence des Éléments, en cite aussi, mais là encore, les références manquent.
Pour les références antiques aux Éléments, le « premier témoin de la tradition indirecte des citations » [13] est celui contenu dans les fragments du Sur la géométrie de Démétrius Lacon (circa 150-75 av. J.-C.) présents dans le Papyrus Herculanum 1061[14],[15] (IIe-Ier siècle av. J.-C.) où sont évoquées les propositions 3, 9 et 10 du livre I des Éléments, qui concernent la bissection d’un angle et la bissection d’un segment de droite.
Les autres citations antiques de Euclide (et proches chronologiquement de l’auteur) sont :
À partir de là, le texte est revu, corrigé, augmenté (de nouvelles démonstrations, de nouveaux cas de figure), commenté, annoté (ce que l’on appelle les scholies), traduit en latin (Boèce, VIe siècle, mais sa traduction est perdue), en syriaque puis en arabe (avant de revenir en Europe, voir plus bas), et pour les versions grecques, translittérées d’une écriture majuscule à une écriture minuscule.
Les principales modifications volontaires (par opposition aux erreurs de copies et traduction) du texte lors de l’antiquité ont été apportées par :
L'ouvrage fut traduit en arabe après avoir été transmis aux Arabes par l'Empire byzantin, autour de 760. Il y eut deux traductions qui semblent indépendantes, l'une due à Al-Ḥajjāj ibn Yūsuf ibn Maṭar, l'autre à Ishaq ibn Hunayn et révisée par Thabit ibn Qurra.
Ensuite, les Éléments furent traduits en latin d'après les textes arabes, par le moine anglais Adélard de Bath au XIIe siècle (1120 à partir de la traduction arabe de Al-Ḥajjāj ibn Yūsuf ibn Maṭar), puis par Herman De Carinthie (1140), par Gerard de Crémone (entre 1120 et 1187, qui semble tenir plutôt compte de la traduction de Ishaq révisée par Thabit), Robert de Chester circa 1251. Ces traductions ont permis à Campanus de Novare d’établir en 1260 une version de référence pour les deux siècles à venir et qui servit de base à la première édition imprimée des Éléments, en latin, en 1482.
Il a été découvert relativement récemment une traduction du grec vers le latin, réalisée au XIIe siècle à Palerme, Sicile, par un étudiant anonyme de Salerne en médecine, venu pour traduire l’Almageste de Claude Ptolémée. Ce manuscrit existe toujours et est presque complet[23].
À partir du début du XVIe siècle, les savants ont travaillé sur les versions grecques rapatriées[24] de Byzance en Italie, dont les principaux manuscrits ont été cités plus haut. La première édition imprimée en grec des Éléments date de 1533[25]. Le plus grand spécialiste des Éléments d’Euclide, J. L. Heiberg, a utilisé principalement les textes grecs pour réaliser la meilleure édition critique du texte entre 1883 et 1888. Le débat sur la supériorité des manuscrits grecs par rapport aux ouvrages traduits de l’arabe vers le latin est un sujet d’étude actuel[26].
Malgré la perte des manuscrits originaux et les nombreux travestissements qu’a connu ce texte au fil de l’histoire, les spécialistes estiment que l’édition critique des Éléments de J. L. Heiberg (1883-1888) est fidèle à l’originale[27].
Les mathématiciens remarquèrent au fil du temps que les démonstrations d'Euclide nécessitaient des hypothèses additionnelles, non spécifiées dans le texte original, par exemple ce qui est devenu l'axiome de Pasch. David Hilbert a donné en 1899 un développement axiomatique de la géométrie euclidienne du plan et de l'espace dans ses Grundlagen der Geometrie (Les fondements de la géométrie), les axiomes sont explicités, et présentés de façon organisée. Hilbert dégage notamment le rôle des axiomes de parallélisme (structure affine), d'ordre et d'incidence (structure projective) et d'orthogonalité (structure « euclidienne »).
Les Éléments sont organisés comme suit.
Deux livres apocryphes sont consacrés aux cinq corps platoniciens, qu'une partie de la tradition ancienne associe aux Éléments sous les noms de « livre XIV » et « livre XV »[28]. Ils sont donnés comme les livres I et II d'Hypsiclès et traduits par François Peyrard à la fin du dernier volume de son édition des œuvres d'Euclide[29]. Heath les donne en annexe de sa traduction.
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