Axiome des parallèles

L’axiome d'Euclide, dit également cinquième postulat d’Euclide, est dû au savant grec Euclide (IV^e siècle av. J.-C.). C'est un axiome relatif à la géométrie du plan.

La nécessité de cet axiome a constitué la question la plus lancinante de toute l'histoire de la géométrie, et il a fallu plus de deux millénaires de débats ininterrompus pour que la communauté scientifique reconnaisse l'impossibilité de le réduire au statut de simple théorème.

Énoncé initial

Illustration du postulat d'Euclide : La droite S détermine les angles internes α et β avec les droites g et h. La somme de ces angles étant inférieure à deux angles droits, g et h se coupent « du côté de ces deux angles », c'est-à-dire à gauche de S sur la figure.

L'énoncé original est exprimé dans le livre I des Éléments d'Euclide sous la forme suivante^[1] :

« Si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites indéfiniment prolongées, se rencontreront du côté où sont les angles plus petits que deux droits. »

Ce qu'Euclide appelle « droite » est plutôt ce que nous appellerions aujourd'hui un segment de droite, mais prolongeable, et ce indéfiniment. Voir la légende de la figure ci-contre pour une reformulation en langage moderne.

Historique : théorème ou axiome

Euclide

Cette propriété est présentée dans Les Éléments d'Euclide comme une demande c'est-à-dire un postulat, et c'est le 5^e d'entre eux^[2],[3].

Euclide établit les 28 premières propositions de ses Éléments sans recourir à son fameux postulat^[4]. Il démontre également sans le postulat des parallèles la proposition I.31 qui donne l'existence d'une droite parallèle à une droite D passant par un point extérieur à D^[5].

Essais de démonstrations et propositions équivalentes

De fait, pendant plus de deux millénaires, bien des géomètres ont pensé que cette propriété devait découler logiquement des autres postulats. Ils ont donc tenté de prouver l'axiome d'Euclide. Parmi les plus illustres de ces savants on citera :

Archimède[6] (IIIe siècle av. J.-C.) Posidonios[6] (IIe / Ier siècle av. J.-C.) Claude Ptolémée[6] (IIe siècle) Proclus[6] (Ve siècle) Thābit ibn Qurra[7],[8] (IXe siècle) Al-Abbâs ibn Saïd al-Jaouharî[6] (IXe siècle) Alhazen[9] (Xe siècle/XIe siècle) Omar Khayyam[10] (XIe siècle) Nasir al-Din al-Tusi[11] (XIIe siècle)

Vitellion[12] (XIIIe siècle) Gersonide[12] (XIVe siècle) Giovanni Alfonso Borelli (XVIIe siècle) Vitale Giordano (XVIIe siècle) John Wallis[12] (XVIIe siècle) Giovanni Girolamo Saccheri[12] (XVIIIe siècle) Jean-Henri Lambert[12] (XVIIIe siècle) Adrien-Marie Legendre (XVIIIe siècle/XIXe siècle)

Comme la démonstration de l'axiome requerrait de le ramener à des évidences, d'autres énoncés plus ou moins équivalents au postulat d'Euclide ont résulté des meilleures de ces tentatives de démonstration. Les variantes connues sont assez nombreuses. Les plus célèbres sont probablement :

• « Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée », énoncé connu sous le nom d'axiome de Playfair, et souvent appelé aussi axiome des parallèles. Dans le cadre des Éléments d'Euclide, où l'existence d'une parallèle est démontrable sans le 5^e postulat, l'unicité suffit, et ce sont d'ailleurs des énoncés donnant seulement l'unicité que donne Playfair. Proclus avait signalé une telle propriété dans ses Commentaires sur le premier livre des Éléments.
• « Il existe des quadrilatères à quatre angles droits. »
• « Il existe des triangles dont la somme des angles est égale à deux droits. » (Legendre)
• « Il existe des triangles semblables de toutes les tailles. » (John Wallis)
• « Par trois points non alignés d'un plan, on peut toujours mener un cercle et un seul. » (Farkas Bolyai)
• …

Ces propositions sont équivalentes au 5^e postulat au sens où elles sont équivalentes relativement aux autres postulats (et axiomes).

L'axiome suivant n'est pas équivalent au postulat d'Euclide :

• « Si deux droites non parallèles sont prolongées à l'infini, elles s'écartent indéfiniment. »

En effet, cet axiome, vrai en géométrie euclidienne, l'est également en géométrie hyperbolique. Ils ne permet donc pas de démontrer le postulat d'Euclide^{[réf. nécessaire]}.

Géométries non euclidiennes

Au XIX^e siècle, avec les recherches de Lobatchevski, Bolyai, Gauss, Riemann, Beltrami, Klein et Poincaré, on a pu trouver d'autres géométries possibles et non contradictoires en conservant certaines des propriétés de la géométrie d'Euclide, mais pas le cinquième postulat. Ces nouvelles géométries sont appelées non euclidiennes. L'histoire de cette découverte est un épisode fascinant de l'histoire de la géométrie ; elle est retracée dans ses grandes lignes à l'article « Géométrie non euclidienne ».

On trouve deux manières différentes de pratiquer la géométrie sans l'axiome des parallèles.

Dans la première, la somme des angles d'un triangle est supérieure à 180° : on l'appelle géométrie elliptique (dont la géométrie sphérique est un modèle) ; dans l'autre, elle est inférieure à 180° : c'est la géométrie hyperbolique ou géométrie de Lobatchevski. Par exemple, en modifiant l'axiome des parallèles ainsi : « Par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une infinité de droites parallèles à cette droite », on obtient la géométrie hyperbolique.

Dans les géométries non euclidiennes, la plupart des résultats métriques, c’est-à-dire ceux concernant les distances et les angles (par exemple le théorème de Pythagore) ne sont plus vrais.

Résistances

Le postulat d'Euclide est lié à une certaine perception immédiate de l'espace. Y renoncer n'est probablement pas facile. Dans Les Fous littéraires^[13], André Blavier cite 13 ouvrages parus entre 1862 et 1932 écrits par ceux que l'auteur appelle du terme plus général de « quadrateurs » qui pensent démontrer le postulat d'Euclide.