Liste de théorèmes du point fixe

En analyse, un théorème du point fixe donne des conditions suffisantes d’existence d’un point fixe pour une fonction ou une famille de fonctions. Plus précisément, étant donné un ensemble E et une famille de fonctions f définies sur E et à valeurs dans E, ces théorèmes permettent de justifier qu’il existe un élément x de E tel que pour toutes les fonctions considérées on ait^[1] ${\displaystyle f(x)=x}$. Certains de ces théorèmes fournissent même un processus itératif permettant d’approcher un tel point fixe.

Les conditions peuvent porter sur la structure de l’ensemble de définition ou sur les propriétés locales ou globales de la fonction.

Par exemple, la fonction cosinus définie de l'intervalle [–1, 1] (boule unité fermée de l'espace euclidien à une dimension) sur lui-même, est continue : elle doit donc y posséder un point fixe (qui vaut approximativement x = 0,74 et correspond à la solution de l'équation x = cos(x)).

Ces théorèmes se révèlent être des outils très utiles en mathématiques, principalement dans le domaine de la résolution des équations différentielles. Le théorème du point fixe de Banach donne un critère général dans les espaces métriques complets pour assurer que le procédé d'itération d'une fonction tende vers un point fixe. Très différent, le théorème du point fixe de Brouwer n'est pas constructif : il garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction continue définie de la boule unité fermée euclidienne sur elle-même sans apporter de méthode générale pour le trouver, à moins d’utiliser le lemme de Sperner.

Liste des théorèmes

Algèbre

• Théorème du point fixe de Borel (en)

Espaces métriques

• Théorème du point fixe de Banach, également attribué au mathématicien français Émile Picard
• Théorème du point fixe de Browder
• Théorème du point fixe de Caristi
• Théorème du point fixe de Earle-Hamilton (en)
• Théorème de Poincaré-Birkhoff
• Théorème du point fixe de Ryll-Nardzewski

Théorie des ordres

• Théorème du point fixe de Bourbaki-Kneser
• Théorème du point fixe de Kleene
• Théorème de Knaster-Tarski

Topologie

• Théorème du point fixe de Brouwer, qui généralise en dimension quelconque la propriété d’existence d’un point fixe pour une fonction continue d’un segment dans lui-même, propriété découlant du théorème des valeurs intermédiaires
• Théorème du point fixe de Kakutani
• Théorème du point fixe de Lefschetz, qui donne une information supplémentaire sur le dénombrement des points fixes
• Théorème du point fixe de Markov-Kakutani
• Théorème du point fixe de Schauder

Notes et références

1. On trouve aussi une version ensembliste du point fixe dans le théorème du point fixe de Kakutani.

Bibliographie

• (en) Robert F. Brown, Handbook of Topological Fixed Point Theory, Springer, 2005, 971 p. (ISBN 978-1-4020-3221-9, lire en ligne)
• (en) Andrzej Granas et James Dugundji, Fixed Point Theory, Springer, 2003, 690 p. (ISBN 978-0-387-00173-9, lire en ligne)

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