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Le théorème du point fixe de Caristi[1] — ou de Caristi–Kirk (en) — est un théorème de topologie générale qui étend le théorème du point fixe de Banach-Picard, en garantissant l'existence de points fixes pour une plus large classe d'applications d'un espace métrique complet dans lui-même. Il est équivalent à une forme faible du principe variationnel d'Ekeland.
Soient (X, d) un espace métrique complet non vide et T une application de X dans X (non nécessairement continue). Pour que T admette un point fixe, il suffit[2],[3] qu'il existe une application semi-continue inférieurement f : X → [0, +∞[ telle que pour tout point x de X, d(x, T(x)) ≤ f(x) – f(T(x)).
Pour qu'une multifonction Γ de X dans X, à valeurs non vides, admette un point fixe — c'est-à-dire un point x appartenant à Γ(x) — il suffit qu'il existe une application semi-continue inférieurement f : X → [0, +∞], non constamment égale à +∞, telle que pour tout couple (x, y) du graphe de Γ, f(y) ≤ f(x) – d(x, y)[4].
Montrons l'équivalence[4] entre les deux énoncés ci-dessus et la forme faible suivante du principe d'Ekeland : pour tout espace complet X et toute application semi-continue inférieurement f : X → [0, +∞] non constamment égale à +∞, il existe un point x de X tel que f(x) ≤ 1 + inf(f(X)) et tel que, pour tout point y de X distinct de x, f(y) > f(x) – d(x, y).
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