Le théorème de Stampacchia est un théorème d'analyse fonctionnelle. C'est un raffinement du théorème de Lax-Milgram.
Soient
un espace de Hilbert réel muni de son produit scalaire noté
(la norme induite étant notée
).
une partie convexe fermée non vide de ![{\displaystyle {\mathcal {H}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f)
une forme bilinéaire qui soit
- continue sur
: ![{\displaystyle \exists \,c>0\quad \forall u,v\in {\mathcal {H}}\quad \|a(u,v)\|\leq c\|u\|\|v\|\quad }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d49e52944fb411da341416e96e24adb831567c3)
- coercive sur
: ![{\displaystyle \exists \,\alpha >0\quad \forall u\in {\mathcal {H}}\quad \ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}\quad }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c66a4a22be6b660d080439b9b9077c6f6ffbed)
une forme linéaire continue sur ![{\displaystyle {\mathcal {H}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f)
Sous ces conditions, il existe un unique
de
tel que
![{\displaystyle (1)\quad \forall \ v\in K\quad a(u,v-u)\geq L(v-u)\quad }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558509f4ed4830d1a75064c2159f3ad8f488e68f)
Si de plus la forme bilinéaire
est symétrique, alors ce même
est l'unique élément de
qui minimise la fonctionnelle
définie par
pour tout
de
, en particulier :
- !\ u\in K\quad I(u)=\min _{v\in K}I(v)}
![{\displaystyle (2)\quad \exists !\ u\in K\quad I(u)=\min _{v\in K}I(v)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4f038fb9a100e4b8e16bd4a5b763f7f5ad1825)
Cas général
Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur
tel que
![{\displaystyle \forall v\in {\mathcal {H}},\quad Lv=\langle f,v\rangle .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829e3dd957cfdfa1b699a7c2a3b43c4a278bee5b)
Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu
tel que
![{\displaystyle \forall u,v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=\langle Au,v\rangle .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072006c45a90d04473909a3df04db9c31dab191d)
De plus, la norme de A est égale à celle de a, d'où
![{\displaystyle \qquad (3)\quad \forall \ u\in {\mathcal {H}}\quad \|A(u)\|\leq c\|u\|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826b42094871c9b1ccb628be53915450c679c259)
Avec ces éléments, la relation (1) s'écrit de manière équivalente
- !\,u\in K\quad \forall v\in K\quad \langle f-A(u),v-u\rangle \leq 0}
![{\displaystyle \exists !\,u\in K\quad \forall v\in K\quad \langle f-A(u),v-u\rangle \leq 0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d89ccd83df4f4ec039516fcdf250a4f3ee09a1a)
Pour tout réel
strictement positif, c'est également équivalent à
- !\,u\in K\quad \forall v\in K\quad \langle rf-rA(u)+u-u,v-u\rangle \leq 0}
![{\displaystyle \exists !\,u\in K\quad \forall v\in K\quad \langle rf-rA(u)+u-u,v-u\rangle \leq 0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564ddd7035dc0f93b51d55236115f1503a15d833)
Ce qui, en utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, se réécrit
- !\,u\in K\quad u=p_{K}(rf-rA(u)+u)}
![{\displaystyle \exists !\,u\in K\quad u=p_{K}(rf-rA(u)+u)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69598831ef40d3257ec8ccb1fee5a185aca13d09)
où
est l'opérateur de projection sur
. Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer que pour un certain
, il existe un unique
qui vérifie l'équation de point fixe
où l'application
est définie par
.
Pour cela, choisissons
de telle façon que
soit une application contractante. Soient
et
deux éléments de
. Comme l'opérateur de projection
est 1-lipschitzien, on a
![{\displaystyle \|P_{r}(x)-P_{r}(y)\|\leq \|x-y-rA(x-y)\|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf4aa4de103db18b7a917b5649d1dd697d694bb)
D'où
![{\displaystyle \|P_{r}(x)-P_{r}(y)\|^{2}\leq \|x-y\|^{2}+r^{2}\|A(x-y)\|^{2}-2r\langle x-y,A(x-y)\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c2dae21d7e5edc30c8a09ffe677bde0edffec5)
Comme la forme bilinéaire
est coercive, on a
. Par ailleurs, en utilisant la relation (3), on a l'inégalité
. Par conséquent,
![{\displaystyle \|P_{r}(x)-P_{r}(y)\|^{2}\leq {\big (}1+r^{2}c^{2}-2r\alpha {\big )}\|x-y\|^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b400b0dc9cfab169a06900d67b8c456bc1765c)
L'application
est contractante dès que
, c'est-à-dire si on a
. En choisissant un tel
et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique
tel que
, ce qui conclut la démonstration.
Cas symétrique
Si la forme bilinéaire
est symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur
. La coercivité implique que
est définie et positive. On note par
ce produit scalaire qui est défini par :
![{\displaystyle \forall x,y\in {\mathcal {H}}\quad \langle x,y\rangle _{a}=a(x,y)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0072352a96deeaffe3ea97e0877b9f9477cfc7aa)
Par application du théorème de Riesz (Attention, pour utiliser le théorème de Riesz, il faut vérifier que l'espace muni du nouveau produit scalaire est bien de Hilbert : procéder par équivalence des normes) sur les formes linéaires, il existe un unique
tel que
pour tout
.
La relation (1) s'écrit alors de manière équivalente :
- !\,u\in K\quad \forall v\in K\quad \langle f-u,v-u\rangle _{a}\leq 0}
![{\displaystyle \exists !\,u\in K\quad \forall v\in K\quad \langle f-u,v-u\rangle _{a}\leq 0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fbf3edab5c86986943ba57761df83d995d9ba7f)
En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :
- !\,u\in K\quad u=p_{K}^{a}(f)}
![{\displaystyle \exists !\,u\in K\quad u=p_{K}^{a}(f)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dfcf885b853c8796cdbc56b0f50ee64126be306)
où
est l'opérateur de projection sur
utilisant le produit scalaire défini par
. La relation (1) est donc équivalente à :
![{\displaystyle \langle f-u,f-u\rangle _{a}=\min _{v\in K}\ \langle f-v,f-v\rangle _{a}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c10657192d2a9ee53322cf013a9a87e8835657)
soit encore
![{\displaystyle \langle u,u\rangle _{a}-2\langle f,u\rangle _{a}=\min _{v\in K}\left(\langle v,v\rangle _{a}-2\langle f,v\rangle _{a}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd2aedf49df368669f90ee959b1ec78f3763c5c)
ou bien
,
ce qui conclut la démonstration.
Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]