Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram, auxquels on adjoint parfois celui de Jacques-Louis Lions – est un théorème de mathématiques s'appliquant à certains problèmes aux dérivées partielles exprimés sous une formulation faible (appelée également formulation variationnelle). Il est notamment l'un des fondements de la méthode des éléments finis.
Soient :
un espace de Hilbert réel ou complexe muni de son produit scalaire noté
, de norme associée notée
;
une forme bilinéaire (ou une forme sesquilinéaire si
est complexe) qui est :
- continue sur
:
,
- coercive sur
(certains auteurs disent plutôt
-elliptique) :
;
une forme linéaire continue sur
.
Sous ces hypothèses, il existe un unique
de
tel que l'équation
soit vérifiée pour tout v de
:
- !\ u\in {\mathcal {H}}\quad \forall v\in {\mathcal {H}}\quad a(u,v)=L(v)}
.
Si de plus la forme bilinéaire
est symétrique, alors
est l'unique élément de
qui minimise la fonctionnelle
définie par
pour tout
de
, c'est-à-dire :
- !\ u\in {\mathcal {H}}\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)}
.
Cas général
Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur
tel que
.
Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu
tel que
.
La proposition (1) se réécrit alors :
- !\ u\in {\mathcal {H}}\quad Au=f}
.
Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que A est une bijection de
sur
. On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif, puis qu'il est surjectif.
Par la coercivité de
et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout ![{\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a115cc2960581b44717e40837c72a7da741a38d)
![{\displaystyle \alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d331981283674e4da50cd3aa7041428193b3db)
d'où
pour tout
de
, ce qui montre que A est injectif et d'image fermée. Notons
cette image. Par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que
.
Soit ensuite un élément w de
, on a par définition
et donc :
![{\displaystyle \alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba51f6d76e2d8ac8037520fe39b82d647ba5acd)
d'où
. Ainsi,
est réduit à
, ce qui montre que A est surjectif.
L'endomorphisme A est bijectif ; il existe donc un unique u de
tel que
et il est donné par
.
Remarque
Sans calculer u, on a l'inégalité
![{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5256868cea638aed2cf5d30685a88209071f5b44)
où
désigne la norme de l'espace dual
.
Cas symétrique
Si la forme bilinéaire a est symétrique, on a pour tout w de
:
.
Comme u est l'unique solution de la proposition (1), cela donne
.
Et comme a est coercive, on a :
.
On a donc
pour tout
, d'où le résultat (2).
- Ce théorème est à la base des méthodes aux éléments finis ; on peut en effet montrer que si, au lieu de chercher u dans
, on cherche
dans
, un sous-espace de
de dimension finie n, alors :
- dans le cas où a est symétrique,
est le projeté de u au sens du produit scalaire défini par a ;
- si l'on se donne
une base de
, le problème se ramène alors à la résolution d'un système linéaire :
avec
et
.
- On peut obtenir une estimation d'erreur à l'aide du lemme de Céa.
Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]