L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs apparaît dans la démonstration d'Euclide de l'infinité des nombres premiers; on l'utilise pour montrer l'existence d'un nombre premier plus grand que tout nombre premier donné: tout diviseur premier du nombre d'Euclide est en effet strictement plus grand que . Il est possible que soit lui-même premier; c'est alors un nombre premier primoriel.
Voici les premières valeurs des primorielles, en prenant par convention 0# = 1, sous forme de liste[1] et de représentation graphique. La liste ne donne que pour premier puisque, par définition, la suite est constante entre deux premiers consécutifs.
Progressions comparées de n! (en jaune) et n# (en rouge), à échelle logarithmique. On remarque la croissance linéaire de ln(n#).
Davantage d’informations k, n = pk ...
k
n = pk
n#
1
2
2
2
3
6
3
5
30
4
7
210
5
11
2 310
6
13
30 030
7
17
510 510
8
19
9 699 690
9
23
223 092 870
10
29
6 469 693 230
11
31
200 560 490 130
12
37
7 420 738 134 810
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Les indices pour lesquels est premier sont 2, 3, 5, 6 et ceux pour lesquels est premier sont 1, 2, 3, 4, 5, 11 (pour plus d'informations, voir l'article «Nombre premier primoriel» et ses liens externes).
Notons que ce nombre est par définition le nombre dont la suite des coefficients du développement de Engel est la suite des nombres premiers.
Pour tout entier de 2 jusqu'à inclus, on a ; on en déduit que les entiers forment entiers consécutifs composés, ce qui montre qu'il y a des plages de composés consécutifs aussi grandes qu'on veut.
Caractérisation
Un entier est produit de primorielles si et seulement si sa décomposition en produit de facteurs premiers écrite avec des facteurs croissants voit les exposants de ces derniers décroitre:
avec
où est le k-ieme nombre premier.
Exemples
Toutes les factorielles sont des produits de primorielles, comme le montre la formule de Legendre exprimant l'exposant du nombre premier dans la décomposition de :
Par analogie avec la super-factorielle, on définit la super-primorielle de comme le produit des premières primorielles:
Elles forment une suite dite suite de Chernoff, suite A006939 de l'OEIS: 1, 2, 12, 360, 75600, ...
est le plus petit entier naturel dont la décomposition en produit de facteurs premier présente exposants tous distincts.
Les primorielles jouent un rôle important dans la recherche de suites de nombres premiers en progression arithmétique (Ben Green et Terence Tao ont établi en 2004 l'existence de telles suites avec arbitrairement grand, mais de façon non constructive). Pour une telle suite, on a les deux propriétés suivantes:
la raison est un multiple de , sauf si la suite commence à (qui doit alors être premier)[3]. Par exemple, la suite de 26 nombres premiers trouvée en par Benoît Perichon et PrimeGrid[4],[5] a une raison multiple de 26# = 23#; elle est donnée par la formule:
pour
il semble que pour tout , le plus petit multiple (soit lui-même) est atteint pour certaines suites. Cette conjecture est vérifiée au moins jusqu'à ; par exemple, David W. Wilson a découvert en 1999[6] une suite arithmétique de 13 nombres premiers de raison 13#:
L. Schoenfeld: Sharper bounds for the Chebyshev functions and . II. Math. Comp. Vol.34, No134 (1976) 337–360; p.359. Cité dans: G. Robin: Estimation de la fonction de Tchebychef sur le -ième nombre premier et grandes valeurs de la fonction , nombre de diviseurs premiers de . Acta Arithm. XLII (1983) 367–389 (PDF 731KB); p.371
Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris, Calvage et Mounet, , 648p. (ISBN978-2-916352-75-6), I - Arithmétique de ℤ, chap.2.2. («Nombres pratiques»), p.20-24