Inégalité de Bonse

En théorie des nombres, l'inégalité de Bonse, du nom de H. Bonse^[1], permet une comparaison entre un nombre primoriel et le plus petit nombre premier qui ne figure pas dans sa décomposition.

Elle déclare que si p₁, ..., p_n, p_n+1 sont les n + 1 plus petits nombres premiers et n ≥ 4, alors

${\displaystyle p_{n}\#=p_{1}\cdots p_{n}>p_{n+1}^{2}}$ ou ${\displaystyle p_{n+1}<{\sqrt {p_{n}\#}}}$.

Elle est une conséquence facile du postulat de Bertrand : ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}$ ; en effet ${\displaystyle p_{n+1}^{2}<4p_{n}^{2}<8p_{n-1}p_{n}<2\times 3\times 5\times p_{n-1}p_{n}\leqslant p_{1}p_{2}...p_{n}}$ pour ${\displaystyle n\geqslant 5}$, le cas ${\displaystyle n=4}$ se montrant à la main.

Mais elle possède une démonstration élémentaire directe plus courte que celle du postulat de Bertrand ^[2].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bonse's inequality » (voir la liste des auteurs).

1. (de) H. Bonse, « Über eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung », Archiv der Mathematik und Physik, vol. 3, n^o 12,‎ 1907, p. 292–295
2. « Olympiades françaises de mathématiques », sur maths-olympiques.fr, 2013

Bibliographie

• (en) J. V. Uspensky et M. A. Heaslet, Elementary Number Theory, New York, McGraw-Hill, 1939, p. 87
• (en) Shaohua Zhang, « A new inequality involving primes », 2009 (arXiv 0908.2943)

• Arithmétique et théorie des nombres