Loading AI tools
théorème mathématique De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, en particulier en théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique établit des liens entre les nombres premiers. Plus précisément, elle décrit la possibilité d'exprimer un nombre premier comme un carré modulo un autre nombre premier. Conjecturée par Euler[1] et reformulée par Legendre[grec 1], elle a été correctement démontrée pour la première fois par Gauss en 1801[2].
Elle permet de résoudre les deux problèmes de base de la théorie des résidus quadratiques[3] :
Elle est considérée comme un des théorèmes les plus importants de la théorie des nombres et a de nombreuses généralisations.
L'énoncé complet de Gauss comporte trois assertions : le « théorème fondamental » pour deux nombres premiers impairs et deux « lois complémentaires ». Il faut toutefois observer que si la première loi complémentaire est effectivement une loi de réciprocité, la seconde loi complémentaire ne l'est pas ; en effet, avec la notation de Legendre définie ci-dessous, la première loi complémentaire équivaut bien à
c'est-à-dire que –1 se comporte effectivement comme un nombre premier vis-à-vis de la loi de réciprocité quadratique. Il n'en est pas de même du nombre 2, dont la résiduité modulo p est simplement caractérisée par la seconde loi complémentaire : la loi de réciprocité est essentiellement un théorème concernant les nombres impairs en général, et c'est de fait à ces nombres qu'elle se généralise par le symbole de Jacobi, puis par celui de Kronecker.
Plus explicitement : l'équation (d'inconnue x) x2 ≡ p mod q a une solution si et seulement si l'équation (d'inconnue y) y2 ≡ q mod p a une solution.
Plus explicitement : l'équation x2 ≡ p mod q a une solution si et seulement si l'équation y2 ≡ q mod p n'a pas de solution.
En utilisant le symbole de Legendre, ces trois énoncés peuvent être résumés respectivement par :
Le théorème fondamental permet de simplifier les deux facteurs :. À nouveau par multiplicativité du symbole de Legendre, on simplifie encore le second facteur : .On conclut à l'aide des deux lois complémentaires : comme et , . Par conséquent, 219 est un carré modulo 383.
,
or dépend de p mod 3 et dépend de p mod 4. On trouve ainsi que
Dans un livre publié en 2000[9], Franz Lemmermeyer expose l'histoire mathématique des lois de réciprocité en couvrant leurs développements et rassemble des citations de la littérature pour 344 différentes démonstrations[10] du théorème fondamental.
Les premières démonstrations de ce dernier aujourd'hui considérées comme complètes sont publiées par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Gauss disposait de preuves dès 1796 (à l'âge de dix-neuf ans). La première de ces preuves repose sur un raisonnement par récurrence. Dans sa correspondance avec Gotthold Eisenstein, Gauss qualifie cette première preuve de laborieuse[11]. Ses troisième et cinquième preuves reposent sur le lemme de Gauss, qu'il démontra à cette occasion[10].
La démonstration originale de Gauss utilise les mêmes techniques que celles exposées dans la première preuve de la deuxième loi complémentaire ci-dessous, et quoique considérée comme un peu laborieuse par beaucoup, elle est en fait très naturelle et peut être largement simplifiée (Dirichlet). Gauss suppose par induction la loi vraie pour les nombres premiers p, q inférieurs à N. Il utilise constamment des équations de base telles que p = c2 – kq (si par exemple p est supposé résidu modulo q), pour démontrer que les facteurs premiers r divisant k sont résidus ou non résidus modulo p, ce qui permet d'en déduire la résiduité de q modulo p (voir la preuve de la deuxième loi complémentaire ci-dessous pour mieux saisir l'idée). Évidemment, il faut constamment utiliser les symétries logiques pour faire jouer l'induction, et examiner cas par cas.
Mais lorsque toutes les symétries ont été mises à profit, il reste encore un cas qui échappe à l'induction: c'est celui où p > q et p est congru à 1 modulo 4. C'est là que Gauss a l'idée digne de son génie d'utiliser comme levier un autre nombre premier q' < p tel que p est non résidu modulo q'. En supposant alors par l'absurde que p est résidu modulo q mais q non résidu modulo p, on en déduit que q' est non résidu modulo p et l'on a l'équation de base qq' = c2 – kp, ce qui permet de faire jouer l'induction et de terminer la preuve.
Il reste donc à démontrer que pour tout nombre premier p congru à 1 modulo 4, il existe un nombre premier q' < p tel que p est non résidu modulo q'[12]. C'est en fait la difficulté essentielle de la démonstration de la loi de réciprocité quadratique, et Gauss avoue que la preuve de ce résultat lui a longtemps résisté[13]. Il s'en tire néanmoins par un mini tour de force (numéros 126, 127, 128, 129 des Disquisitiones), en se servant accessoirement d'un lemme injustement tombé dans l’oubli, qu'il démontre facilement par induction et qui mérite d'être cité :
Si A, B, C, D... et A', B', C', D'... sont deux suites de nombres (ne comportant pas forcément le même nombre de termes) et si, pour tout nombre premier p et tout entier n > 0, le nombre des termes de la première suite divisibles par pn est au moins aussi grand que celui des termes de la seconde suite divisibles par ce même nombre, alors le produit des A, B, C... est divisible par le produit des A', B', C'...
Par exemple, si a est un entier relatif et n un entier positif, en observant[14] que le nombre des termes divisible par un entier positif quelconque k dans la suite a, a + 1, a + 2, … , a + n – 1 est au moins aussi grand que celui des termes divisibles par k dans la suite des nombres 1, 2, 3, … , n, on en conclut que a(a + 1)(a + 2)…(a + n – 1)1.2…n est un entier, chose déjà connue par la combinatoire, mais qui reçoit par là une démonstration numérique pure (due à Gauss). C'est d'ailleurs peut être cet exemple qui a donné à Gauss l'idée de faire jouer la factorielle dans sa preuve du résultat ci-dessus.
Comme indiqué précédemment, les démonstrations de la loi de réciprocité quadratique sont légion. En particulier, citons-en deux.
Il existe des lois de réciprocité cubique, biquadratique (en) (c'est-à-dire de degré 4) et ainsi de suite. Cependant, la véritable généralisation de toutes ces lois — généralisation monumentale — est la théorie des corps de classes. Voir « Neuvième problème de Hilbert ».
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.