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Fonction de la théorie des nombres De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En théorie des nombres, le symbole de Legendre est une fonction de deux variables entières à valeurs dans {–1, 0, 1}, qui caractérise les résidus quadratiques. Il a été introduit par Adrien-Marie Legendre[1], au cours de ses efforts pour démontrer la loi de réciprocité quadratique.
Si p est un nombre premier et a un entier, alors le symbole de Legendre vaut :
- 0 si a est divisible par p ;
- 1 si a est un résidu quadratique modulo p (ce qui signifie qu'il existe un entier k tel que a ≡ k2 mod p) mais n'est pas divisible par p ;
- −1 si a n'est pas un résidu quadratique modulo p.
Il ne dépend donc que de la classe de a modulo p.
Le cas particulier p = 2 est inclus dans cette définition mais sans intérêt : vaut 0 si a est pair et 1 sinon.
Si p est un nombre premier différent de 2 alors, pour tout entier a :
L'application est complètement multiplicative (c'est une conséquence immédiate du critère d'Euler).
Soient p un nombre premier impair et a un entier non divisible par p. Alors
où n est défini de la façon suivante :
considérons les entiers a, 2a, 3a,..., p – 12a et leurs plus petits résidus positifs modulo p, alors n est le nombre de ces résidus qui excèdent p/2.
Le symbole de Jacobi est une généralisation du symbole de Legendre. Avec le symbole de Legendre , l'entier est nécessairement premier ; en revanche, le symbole de Jacobi permet de considérer le cas où est un nombre composé.
La multiplicativité complète du symbole de Legendre (voir supra) montre qu'il définit, pour p fixé, un morphisme de (ℤ/pℤ)* dans {–1, 1} ; c'est donc un caractère de Dirichlet. Cette remarque rend possible l'utilisation des outils de l'analyse harmonique sur un groupe fini. Ces outils sont à la source de nombreuses démonstrations en arithmétique. On peut citer par exemple le calcul des sommes ou des périodes de Gauss, utilisées dans l'une des démonstrations de la loi de réciprocité quadratique.
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