Le lemme de Gauss en théorie des nombres donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier soit un résidu quadratique modulo un nombre premier. Il a été introduit et démontré par Gauss dans ses preuves de la loi de réciprocité quadratique[1],[2] et est utilisé dans plusieurs des nombreuses preuves ultérieures de cette loi[3].
Énoncé
Soient un nombre premier impair et un entier non divisible par . Alors
où est le symbole de Legendre et est défini de la façon suivante :
On considère les entiers et leurs plus petits résidus positifs .
Parmi ces entiers distincts compris entre et , est le nombre de ceux qui sont plus grands que .
ou encore, de façon équivalente :
est le nombre d'entiers négatifs parmi , en désignant par , pour tout entier , l'unique entier de l'intervalle congru à .
Application
La deuxième « loi complémentaire » de la loi de réciprocité quadratique se déduit du lemme de Gauss[4].
Preuve
Une preuve assez simple de ce lemme[5] utilise le même principe que l'une des démonstrations du petit théorème de Fermat, en évaluant de deux façons le produit modulo p de ces (p – 1)/2 entiers.
Autre preuve, par la théorie du transfert
De par sa définition, l'application qui à a associe (–1)n est un morphisme de transfert du groupe abélien G = (ℤ/pℤ)* dans le sous-groupe Q = {–1, +1}. D'après le théorème d'évaluation du transfert, on en déduit que l'image de a par ce morphisme est égale à am où m désigne l'indice de Q dans G, c'est-à-dire m = (p – 1)/2, ce qui conclut.
Notes et références
Voir aussi
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