Logarithme
famille de fonction mathématiques pour lesquelles l'image d'un produit est la somme des images / De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
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En mathématiques, un logarithme est la fonction réciproque d'une exponentiation, c'est-à-dire que le logarithme de base b d'un nombre réel strictement positif est la puissance à laquelle il faut élever la base b pour obtenir ce nombre.
Le logarithme en base dix de 1000 est 3 car 103 = 10×10×10 = 1000.
Dans ce cas, le plus simple, le logarithme est le nombre entier qui compte les répétitions de la base multipliée par elle-même. Dans cette opération, multiplier un nombre par la base équivaut à ajouter 1 à son logarithme. L'exponentiation généralise cette opération de multiplication par soi-même à des puissances intermédiaires entre les entiers, qu'on exprime en nombres réels.
Le logarithme en base dix de la racine de 10, notée , est 0,5 car
, donc
Le logarithme de base b du nombre x se note logb x. Si la base est évidente d'après le contexte, ou si elle n'a pas d'importance, on peut écrire simplement log x. Par définition, .
John Napier a développé les logarithmes au début du XVIIe siècle. L'utilité du logarithme pour le calcul vient du fait que la fonction logarithme transforme un produit en somme : . Pendant trois siècles, la table de logarithmes et la règle à calcul, fondée sur une échelle logarithmique, ont servi pour le calcul, jusqu'à leur remplacement, à la fin du XXe siècle, par des calculatrices.
Le logarithme permet en outre de présenter sous une forme concise des relations entre nombres d'ordre de grandeur très différents.
Trois fonctions logarithmes sont d'usage courant :
- le logarithme népérien (ou naturel) dont la base est le nombre e, est fondamental en analyse mathématique car il est la primitive de la fonction s’annulant en 1 et la fonction réciproque de la fonction exponentielle ; il est souvent noté ln sauf en informatique ou en théorie des nombres où log sans autre précision signifie en général logarithme népérien ;
- le logarithme décimal, dont la base est 10, reste le plus communément utilisé pour les calculs dans le domaine technologique ainsi qu'en chimie pour le calcul de pH ;
- le logarithme binaire, dont la base est 2, est utile en informatique théorique et pour certains calculs appliqués.
Le logarithme complexe généralise la notion de logarithme aux nombres complexes.