Antécédent (mathématiques)

En mathématiques, étant donné deux ensembles E, F et une application ${\displaystyle f:E\to F}$, on appelle antécédent (par f) d'un élément y de F tout élément dont l'image par f est y, c'est-à-dire tout élément x de E tel que f(x) = y.

Dans ce diagramme d'application, 1 et 4 sont des antécédents de b.

Un antécédent de y est donc, par définition, un élément de l'image réciproque ${\displaystyle f^{-1}(\{y\})}$.

Exemples

Soient la fonction carré ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{2}}$ et y un nombre réel.

• Si y > 0 alors y admet deux antécédents, qui sont ${\displaystyle {\sqrt {y}}}$ et ${\displaystyle -{\sqrt {y}}}$.
• Si y = 0 alors y admet un seul antécédent, qui est 0.
• Si y < 0 alors y n'admet aucun antécédent.

Image d'un ensemble par une application

Soient une application ${\displaystyle f:E\to F}$ et A une partie de E. On appelle « image de A par f » l'ensemble des éléments de F qui admettent au moins un antécédent appartenant à A ; on la note f(A). L'ensemble f(E) est appelé image de f.

Injections, surjections, bijections

Soit une application ${\displaystyle f:E\to F}$. On dit que f est :

• injective, si tout élément de F admet au plus un antécédent ;
• surjective, si tout élément de F admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si ${\displaystyle f(E)=F}$ ;
• bijective, si tout élément de F admet un antécédent et un seul. Dans ce cas, la bijection réciproque de f est l'application ${\displaystyle f^{-1}:F\to E,\,y\mapsto x}$, où x est l'unique antécédent de y par f.

Développement informatique

Les développeurs utilisent le mot « argument » pour désigner le ou les antécédents d'une fonction.

• Portail des mathématiques