Formules pour les nombres premiers

En mathématiques, la recherche de formules exactes donnant tous les nombres premiers, certaines familles de nombres premiers ou le n-ième nombre premier s'est généralement avérée vaine, ce qui a amené à se contenter de formules approchées. Cette page recense les principaux résultats obtenus.

Formules exactes simples

L'espoir d'obtenir une formule exacte et simple donnant le n-ième nombre premier p_n, ou le nombre π(n) de nombres premiers inférieurs ou égaux à n, s'est très tôt heurté à l'extrême irrégularité de leur répartition, ce qui a amené à se contenter d'objectifs moins ambitieux. Mais même la recherche de formules ne donnant que des nombres premiers s'avère assez décevante ; ainsi, il est facile de montrer qu'il n'existe aucune fonction polynomiale non constante P(n) qui ne prendrait que des valeurs premières pour tous les entiers n, ou même pour presque tous les n^[1] ; en fait, on ignore même s'il existe un polynôme de degré > 1 qui prenne une infinité de valeurs premières^[2].

C'est ce qui explique l'intérêt de la remarque d'Euler : le polynôme quadratique P(n) = n² + n + 41 est premier pour tous les nombres entiers positifs strictement inférieurs à 40 (${\displaystyle P(40)=1681=41^{2}}$ et si n est un multiple de 41, P(n) sera lui aussi un multiple de 41, et donc non premier). D'ailleurs, 41 est le plus grand « nombre chanceux d'Euler », c'est-à-dire le plus grand entier A pour lequel le polynôme n² + n + A est premier pour tous les n strictement inférieurs à A – 1 ; cela résulte du théorème de Stark-Heegner, un résultat de la théorie des corps de classes qui n'a été démontré qu'en 1967. De manière similaire, d'autres formules polynomiales (de degré plus élevé) produisent des suites de nombres premiers. Ainsi, en 2010, l'une d'entre elles a permis d'établir un nouveau record : une suite de 58 nombres premiers^[3] :

${\displaystyle {\frac {1}{72}}n^{6}-{\frac {5}{24}}n^{5}-{\frac {1493}{72}}n^{4}+{\frac {1027}{8}}n^{3}+{\frac {100471}{18}}n^{2}-{\frac {11971}{6}}n-57347}$ est premier^[4] pour chaque entier n de –42 à 15.

D'autres formules utilisant des fonctions plus générales, telle celle de Mersenne, avaient été envisagées, la plus célèbre étant celle conjecturée par Fermat : F_n = 2²ⁿ + 1 est premier pour tout n. Hélas, si ces nombres (appelés désormais nombres de Fermat) sont bien premiers pour 0 ≤ n ≤ 4, Euler découvrit que le sixième, F₅, est divisible par 641, ruinant la conjecture ; actuellement, on pense au contraire que F_n est toujours composé dès que n > 4^[5]. Dans le même genre, la formule de Mills n'engendre que des nombres premiers, mais a l'inconvénient de n'être que théorique.

Formules approchées

Des formules approchées donnant p_n ou π(n) ont été imaginées au XVIII^e siècle, culminant avec les conjectures de Legendre et Gauss. Si leur hypothèse la plus simple, ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\pi (n)\ln n/n=1,}$ a été démontrée par Hadamard et La Vallée Poussin un siècle plus tard (c'est le théorème des nombres premiers), la difficulté du problème est bien montrée par le fait qu'une des conjectures de Gauss, plus précise, et majorant π(n) par ${\displaystyle {\rm {Li}}(n)=\int _{2}^{n}{\frac {\mathrm {d} x}{\ln x}}}$, qui paraissait fort plausible au vu des tables de ces deux fonctions, s'est cependant révélée fausse, mais seulement pour des valeurs de n gigantesques^[6].

Des résultats plus précis, et en particulier une bonne estimation du terme d'erreur h(n) dans la formule p_n = n ln n + h(n), font encore l'objet de conjectures (dépendant souvent de l'hypothèse de Riemann) ; parmi les meilleurs résultats vraiment démontrés, on peut citer l'encadrement suivant, déterminé par Dusart en 1999^[7] :

${\displaystyle n\left(\ln n+\ln \ln n-1\right)<p_{n}<n\left(\ln n+\ln \ln n-1/2\right).}$

Ces méthodes sont loin de donner des formules exactes ; par exemple, cet encadrement affirme seulement que le millième nombre premier, 7919, est compris entre 7840 et 8341.

Formules exactes sans intérêt pratique

Malgré les remarques précédentes, il est cependant possible d'obtenir des formules exactes d'apparence simple, mais sans intérêt pratique du fait de calculs trop longs.

Utilisation du théorème de Wilson

Le théorème de Wilson permet facilement de montrer que la fonction f(n) = 2 + (2(n!) mod(n + 1)) produit tous les nombres premiers, et seulement eux, quand n parcourt tous les entiers positifs : f(n) = n + 1 si n + 1 est premier, et f(n) = 2 sinon^[8].

La factorielle de n prend rapidement des valeurs bien trop grandes pour être utilisable en pratique, mais le recours à la fonction modulo (que l'on sait calculer rapidement) contourne cette difficulté ; cependant, les seules méthodes connues pour calculer f(n) prennent environ n opérations élémentaires, de plus, cette fonction ne donne pas réellement π(n), mais teste seulement si n est premier ou non ; pour ce test, ou pour calculer π(n), f est donc beaucoup plus inefficace que la méthode de division par tous les entiers inférieurs ou égaux à √n (ou que le crible d'Ératosthène), méthodes elles-mêmes bien moins rapides que les meilleurs tests de primalité actuellement connus.

D'autres formules donnant directement p_n ou π(n) peuvent être construites à partir de f ; ainsi, on a, en utilisant la fonction partie entière ⌊∙⌋ :

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {(j-1)!+1 \over j}-\left\lfloor {(j-1)! \over j}\right\rfloor \right\rfloor }$ ;

mais ces formules sont encore moins facilement utilisables que celle donnant f.

Simulation du crible d'Ératosthène

Une autre approche, plus prometteuse et n'utilisant pas le théorème de Wilson, consiste essentiellement à simuler le crible d'Ératosthène, ou les formules qu'on peut en déduire, comme la formule d'inclusion-exclusion de Legendre^[9] ; c'est le terrain de prédilection de nombreux amateurs, ainsi, les formules suivantes ont été déterminées en 2000 par un enseignant espagnol, S. M. Ruiz^[10]  :

${\displaystyle \pi (n)=n-1+\sum _{j=2}^{n}\left[{2 \over j}\left(1+\sum _{s=1}^{\left\lfloor {\sqrt {j}}\right\rfloor }\left(\left\lfloor {j-1 \over s}\right\rfloor -\left\lfloor {j \over s}\right\rfloor \right)\right)\right]}$

et

${\displaystyle p_{n}=1+\sum _{k=1}^{2(\lfloor n\ln(n)\rfloor +1)}\left(1-\left\lfloor {\pi (k) \over n}\right\rfloor \right).}$

On remarquera le nombre important de sommations dans ces formules, qui fait qu'elles seraient, elles aussi, peu utilisables en pratique ; de bien meilleures méthodes de calcul exact de π(n) et p_n, qu'on trouvera détaillées dans l'article consacré à ces fonctions, restent d'ailleurs relativement inefficaces^[12].

Relation diophantienne

Compte tenu des remarques de la première section, l'existence de polynômes à plusieurs variables ne prenant que des valeurs premières paraissait peu vraisemblable. Aussi, les travaux de Youri Matiiassevitch, qui a résolu en 1970 le dixième problème de Hilbert en montrant que toute relation diophantienne pouvait être codée par un tel polynôme, provoquèrent une véritable surprise. Il est même possible de donner des exemples explicites de ce résultat ; ainsi, le monstrueux polynôme suivant (de degré 25, et comportant 26 variables)^[13] :

${\displaystyle (k+2)(1-\alpha _{0}^{2}-\alpha _{1}^{2}-\cdots -\alpha _{13}^{2})}$

avec

${\displaystyle \alpha _{0}=wz+h+j-q}$

${\displaystyle \alpha _{1}=(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z}$

${\displaystyle \alpha _{2}=16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{3}=2n+p+q+z-e}$

${\displaystyle \alpha _{4}=e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{5}=(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{6}=16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{7}=n+l+v-y}$

${\displaystyle \alpha _{8}=(a^{2}-1)l^{2}+1-m^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{9}=ai+k+1-l-i}$

${\displaystyle \alpha _{10}=[(a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1](n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}}$

${\displaystyle \alpha _{11}=p+l(a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m}$

${\displaystyle \alpha _{12}=q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x}$

${\displaystyle \alpha _{13}=z+pl(a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm}$

a, pour ensemble de valeurs strictement positives (lorsque ${\displaystyle (a,\dots ,z)\in \mathbb {N} ^{26}}$), exactement l'ensemble des nombres premiers^[14].

Mais on peut cependant se demander s'il s'agit bien là encore d'une « formule ». Il est d'ailleurs extrêmement difficile de trouver un jeu de 26 variables donnant un nombre positif, et il n'existe aucune méthode connue pour résoudre un tel système autrement que par l'exploration de toutes les combinaisons possibles des paramètres.

Suites définies par récurrence

Bien qu'on ne puisse pas parler exactement de formule, une suite définie par une relation de la forme u_n+1 = f(u_n), où f est une fonction assez simple, et qui ne prendrait que des valeurs premières, resterait intéressante. Certaines suites dérivées de la démonstration d'Euclide de l'infinité des nombres premiers (comme la suite de Sylvester) s'avèrent décevantes à cet égard, ainsi on ne sait même pas s'il existe une infinité de nombres premiers primoriels. On ne connaît en fait que peu d'exemples intéressants de telles suites, d'ailleurs d'une forme un peu plus complexe.

Algorithme FRACTRAN

Conway a ainsi défini une généralisation du problème de Syracuse, qui le transforme en un langage de programmation, FRACTRAN ; le texte suivant^[15] :

${\displaystyle {\frac {17}{91}},{\frac {78}{85}},{\frac {19}{51}},{\frac {23}{38}},{\frac {29}{33}},{\frac {77}{29}},{\frac {95}{23}},{\frac {77}{19}},{\frac {1}{17}},{\frac {11}{13}},{\frac {13}{11}},{\frac {15}{14}},{\frac {15}{2}},{\frac {55}{1}}.}$

correspond, pour ce langage, à un programme qui produit, dans l'ordre, la suite des nombres premiers (on peut donc l'interpréter comme une suite définie par récurrence). Pour cela, partant du nombre 2, on multiplie itérativement par la première fraction donnant un produit entier. Parmi la suite d'entiers qu'on obtiendra, les puissances de 2 successives auront pour exposant la suite des nombres premiers. L'efficacité de ce programme étant extrêmement faible, l'intérêt est seulement dans l'élégance de son écriture.

Suite de Rowland

La suite u_n définie par la relation de récurrence

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+\operatorname {gcd} (n,a_{n-1}),\quad a_{1}=7,}$

(où gcd(x, y) désigne le PGCD de x et y) et u_n = a_n+1 – a_n commence par 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, ... (suite A132199 de l'OEIS). Rowland a démontré en 2008 que cette suite ne contient (à part 1) que des nombres premiers^[16].

Suites dépendant d'un nombre réel

Formule de Mills

En 1947, William H. Mills a montré qu'il existe des nombres réels M tels que pour tout entier n, la partie entière de M⁽³ⁿ⁾ est un nombre premier^[17]. Le plus petit M ayant cette propriété, la constante de Mills, est d'ailleurs connu avec une bonne précision, mais qui s'avère tout aussi illusoire pour calculer de grands nombres premiers, par exemple parce que la taille de p(n) = ⌊M⁽³ⁿ⁾⌋ devient rapidement bien supérieure à tout ce qu'un ordinateur peut contenir (pour stocker p(25), on a déjà besoin d'un téraoctet).

Suite de Fridman

En 2017, Fridman et al. ont démontré^[18] que la suite de réels (f_n) définie par :

• ${\displaystyle f_{1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {p_{k}-1}{p_{k-1}\#}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {p_{k}-1}{\prod _{i=1}^{k-1}p_{i}}}}$
• ${\displaystyle \forall n\geq 1\quad f_{n+1}=\lfloor f_{n}\rfloor \left(f_{n}-\lfloor f_{n}\rfloor +1\right)}$

vérifie :

${\displaystyle \forall n\geq 1\quad p_{n}=\lfloor f_{n}\rfloor }$.

L'irrationnel f₁ = 2,9200509773…^[19] n'est autre^[20] que la valeur moyenne de la suite 2, 3, 2, 3, 2, 5, etc. dont le n-ième terme est le plus petit nombre premier ne divisant pas n^[18],[21].

Bien que les calculs correspondants soient plus maniables que ceux de la formule de Mills, ce résultat reste tout aussi théorique. En effet, ces calculs nécessitent de connaître un nombre de plus en plus important de décimales de f₁ (environ n décimales pour obtenir p_n)^{[réf. souhaitée]}, mais pour obtenir n décimales de f₁, il faut déjà connaître les valeurs des n premiers nombres premiers^{[réf. souhaitée]}. Par contre, cela procure une compression mémoire, en effet, le stockage de ${\displaystyle n}$ décimales nécessite moins de mémoire que pour les ${\displaystyle n}$ premiers nombres premiers.

Fraction continue

La notion de fraction continue permet de définir le nombre réel positif ${\displaystyle u_{1}=[p_{1},p_{2},p_{3},...]=2.31303673643...}$  A064442 à partir duquel on retrouve la suite des nombres premiers en utilisant la récurrence suivante: ${\displaystyle u_{n+1}=(u_{n}-\lfloor u_{n}\rfloor )^{-1}}$. Il s'ensuit que ${\displaystyle p_{n}=\lfloor u_{n}\rfloor }$.

La méthode de Fridman et al. peut être vue comme une alternative de la méthode par fraction continue (connue antérieurement), et on peut donc émettre la même réserve : le nombre ${\displaystyle u_{1}}$ est défini (ci-dessus) en utilisant les nombres premiers, il faudrait donc une définition alternative indépendante des nombres premiers pour que cette méthode soit utilisable.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Formula for primes » (voir la liste des auteurs).

1. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, 2007, p. 23, th. 21, dû à Goldbach (Lettre CLI, à Euler, 18 novembre 1752). Pour une généralisation, voir aussi le théorème 22, p. 24 et 83, dû à (en) Morgan Ward (en), « A generalization of a familiar theorem concerning prime numbers », J. London Math. Soc., vol. 5,‎ 1930, p. 106-107.
2. (en) Andrew Granville, Conférence à la MAA, décembre 2008, d'où sont tirées beaucoup des remarques informelles de cet article ; en voici l'enregistrement (audio) ; il est cependant conjecturé que, par exemple, c'est le cas du polynôme n² + 1, et la conjecture de Bateman-Horn prédit le comportement de ces valeurs premières de manière bien confirmée empiriquement.
3. David Larousserie, « Nouvelle suite record pour les nombres premiers », sur Sciences et Avenir, 23 septembre 2010 (consulté le 4 mai 2018).
4. Il s'agit en fait de nombres premiers dans Z, c'est-à-dire d'entiers relatifs dont la valeur absolue est un nombre premier.
5. Boklan et Conway ont publié en mai 2016 une analyse très fine estimant la probabilité d'un autre nombre premier à moins d'un sur un milliard ((en) Boklan et Conway, « Expect at most one billionth of a new Fermat Prime! », Mathematical Intelligencer., Springer,‎ 2016 (arXiv 1605.01371v1)).
6. Voir Nombre de Skewes, où l'on trouvera aussi les meilleures valeurs de ces n actuellement connues.
7. (en) Pierre Dusart, « The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k-1) for k≥2 », Mathematics of Computation, vol. 68,‎ 1999, p. 411–415 (lire en ligne) ; l'encadrement est valable pour n > 4 avec la convention ${\displaystyle p_{2}=2}$ et en fait, cet article donne des bornes un peu plus précises, mais valables seulement pour n assez grand : on a (pour n > 40000) ${\displaystyle n(\ln n+\ln \ln n-1)<p_{n}<n(\ln n+\ln \ln n-0,95);}$ pour le cent millième nombre premier, ${\displaystyle p_{100000}=1\,299\,709}$, cela correspond à l'encadrement ${\displaystyle 1\,295\,639<p_{100000}<1\,300\,639}$.
8. En effet, si n + 1 est premier, d'après le théorème de Wilson, on a n! congru à –1 modulo n + 1, donc la division de 2(n!) par n + 1 laisse un reste de n – 1 et f(n) = 2 + (n – 1) = n + 1 dans ce cas ; si n + 1 est composé et strictement supérieur à 4, n! est divisible par n + 1 et f(n) = 2 + 0 = 2 ; enfin, f(0) = 2 et f(3) = 2.
9. Cette formule (connue aussi sous le nom de formule du crible) a été déterminée par Legendre pour calculer rapidement π(n) sans avoir besoin de chercher explicitement tous les nombres premiers inférieurs à n ; on la trouvera, ainsi que ses améliorations plus récentes, dans l'article consacré à π(n).
10. Ces formules figurent sur la page personnelle de leur auteur, Sebastián Martín Ruiz (es) ; il en a publié une démonstration en 2002 (en), en collaboration avec S. Sondow.
11. (en) primes.utm.edu Conditional Calculation of pi(10^24).
12. Ainsi, on n'est en 2016 capable de déterminer exactement que π(10²⁴)^[11], alors qu'on sait tester si un nombre de l'ordre de 10²⁰⁰ est premier en quelques minutes.
13. Matiiassevitch a montré en 1999 qu'on peut ramener tout polynôme codant ainsi une relation diophantienne à un polynôme en 9 variables, mais au prix, dans cet exemple, d'un degré dépassant 10⁴⁵. Inversement, on a déterminé un polynôme de degré 4, mais à 56 variables ; voir à ce sujet (en) James P. Jones, « Universal diophantine equation », J. Symb. Logic, vol. 47, n^o 3,‎ 1982, p. 549–571 (DOI 10.2307/2273588).
14. (en) James P. Jones, Daihachiro Sato (en), Hideo Wada et Douglas Wiens, « Diophantine representation of the set of prime numbers », Amer. Math. Monthly, vol. 83, n^o 6,‎ 1976, p. 449-464 (lire en ligne) (Prix Lester Randolph Ford 1977).
15. John H. Conway et Richard K. Guy, The book of numbers, Copernicus, 1995 (ISBN 0-387-97993-X), p. 147
16. (en) Eric S. Rowland, A Natural Prime-Generating Recurrence, vol. 11, Journal of Integer Sequences, 2008, 08.2.8 (Bibcode 2008JIntS..11...28R, arXiv 0710.3217, lire en ligne)
17. (en) William H. Mills, « A prime-representing function », Bull. Amer. Math. Soc.,‎ 1947, p. 604 et 1196 (lire en ligne).
18. (en) D. Fridman, J. Garbulsky, B. Glecer, J. Grime et M. T. Florentin, « A prime-representing constant », Amer. Math. Month., vol. 126, n^o 1,‎ janvier 2019, p. 70-72 (DOI 10.1080/00029890.2019.1530554, lire en ligne).
19. Suite  A249270 de l'OEIS.
20. (en) Steven R. Finch, Mathematical Constants, vol. II, Cambridge University Press, 2018 (lire en ligne), p. 171.
21. Suite  A053669 de l'OEIS : « Smallest prime not dividing n ».

Voir aussi

Bibliographie

• Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers : Voyage au cœur de l'arithmétique, 2000 [détail de l’édition]
• Marcus du Sautoy (trad. de l'anglais), La Symphonie des nombres premiers, Paris, éditions Héloïse d'Ormesson, 2005, 491 p. (ISBN 2-35087-011-1)

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Prime Formulas », sur MathWorld

• Arithmétique et théorie des nombres