Constante de Mills

En mathématiques, la constante de Mills est définie comme étant le plus petit nombre réel A tel que la partie entière de A³ⁿ soit un nombre premier, pour tout entier n strictement positif. Sous l'hypothèse de Riemann,

${\displaystyle A=1{,}30637788386\ldots }$^[1],[2].

Théorème de Mills

Il existe un nombre réel A, la constante de Mills, tel que, pour tout entier n > 0, la partie entière de A³ⁿ soit un nombre premier^[3].

Ce théorème a été démontré en 1947 par le mathématicien William H. Mills ; par la suite, plusieurs mathématiciens ont calculé le plus petit A convenable en supposant qu’il y a toujours un nombre premier entre deux cubes consécutifs, ce qui est une conséquence de l'hypothèse de Riemann^[2].

Nombres premiers de Mills

Les nombres premiers générés par la constante de Mills sont appelés les nombres premiers de Mills. Si l'hypothèse de Riemann est vraie, cette suite (f_n) est :

2, 11, 1 361, 2 521 008 887, 16 022 236 204 009 818 131 831 320 183, etc. (suite A051254 de l'OEIS),

ou encore : f_n+1 = f_n³ + b_n où la suite (b_n) est :

3, 30, 6, 80, 12, 450, 894, 3 636, 70 756, 97 220, 66 768, 300 840, etc. (suite  A108739).

Plancher et plafond

Une analogue de la formule de Mills peut être obtenue en remplaçant la fonction plancher par la fonction plafond. En effet, Tóth ^[4] a montré en 2017 que la fonction définie par

${\displaystyle \lceil A^{r^{n}}\rceil }$

est également génératrice de nombres premiers pour ${\displaystyle r>2,106\ldots }$. Pour le cas ${\displaystyle r=3}$, la valeur de la constante ${\displaystyle A}$ commence par 1,24055470525201424067... Les nombres premiers générés sont alors:

${\displaystyle 2,7,337,38272739,56062005704198360319209,176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269,\ldots }$