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En algèbre, un corps pythagoricien est un corps (commutatif) dans lequel toute somme de deux carrés est un carré, autrement dit : un corps dont le nombre de Pythagore est égal à 1. Une extension pythagoricienne d'un corps F est une extension quadratique de la forme F(√1 + λ2) pour un certain élément λ de F. Un corps est donc pythagoricien s'il est fermé par extensions pythagoriciennes. La clôture pythagoricienne d'un corps F, notée Fpy, est le « plus petit » corps pythagoricien contenant F[1]. Le « corps de Hilbert » est le plus petit corps pythagoricien ordonné[2].
Pour tout corps F, les conditions suivantes sont équivalentes :
- F est pythagoricien ;
- son u-invariant général (en) est égal à 0 ou 1[3] ;
- si ab n'est pas un carré dans F, il existe un ordre sur F (total et compatible) pour lequel a et b sont de signes contraires[4] ;
- F est l'intersection de ses clôtures euclidiennes[5].
En particulier, les corps quadratiquement clos et les corps de caractéristique 2 sont pythagoriciens.
Les corps quadratiquement clos sont les corps dont le groupe de Witt est d'ordre 2[1],[6].
Les corps pythagoriciens formellement réels sont les corps dont le groupe de Witt est sans torsion (il suffit pour cela qu'il soit sans 2-torsion)[1],[6]. Parmi eux, les corps euclidiens (c'est-à-dire les corps pythagoriciens possédant un unique ordre, comme les corps réels clos) sont ceux dont le groupe de Witt est cyclique infini[6].
Pour tout corps F, il existe une suite exacte qui met en jeu les anneaux de Witt :
où IW(F) est l'idéal fondamental de l'anneau de Witt de F[7] et TorIW(F) est son sous-groupe de torsion (c'est le nilradical de W(F))[8].
On peut utiliser les corps pythagoriciens pour construire des modèles de certains axiomes de Hilbert de la géométrie[9]. Si F est pythagoricien alors Fn satisfait une grande partie des axiomes de Hilbert — comme les axiomes d'incidence et de congruence et l'axiome des parallèles — mais en général pas tous, à moins d'hypothèses supplémentaires. Par exemple si F est de plus ordonné, les axiomes d'ordre sont satisfaits et si F est complet pour cet ordre, l'axiome de complétude est aussi satisfait.
On peut utiliser la clôture pythagoricienne d'un corps ordonné non archimédien — comme celui, ℚ(t), des fractions rationnelles à une indéterminée sur le corps ℚ des rationnels — pour construire des géométries non archimédiennes, satisfaisant une grande partie des axiomes de Hilbert mais pas celui de complétude[10]. Max Dehn a procédé ainsi pour construire ses deux plans (en), exemples d'une géométrie semi-euclidienne et d'une géométrie non legendrienne (en), dans lesquelles tout point extérieur à une droite passe par une infinité de parallèles mais la somme des angles d'un triangle est égale à π pour la première, et strictement supérieure à π pour la seconde[11].
Ce théorème[12] établit que si E/F est une extension finie et si le corps E est pythagoricien, alors F aussi[13]. Un corollaire est qu'aucun corps de nombres n'est pythagoricien, puisque ℚ ne l'est pas[14].
Un corps superpythagoricien est un corps formellement réel F tel que tout sous-groupe d'indice 2 de F* qui ne contient pas −1 définit un ordre sur F (c'est-à-dire est stable par addition). Tout corps superpythagoricien est pythagoricien[13].
On a pour ces corps un analogue du théorème de Diller-Dress : si E/F est une extension finie et si E est superpythagoricien, alors F aussi[15]. Inversement, si F est superpythagoricien alors tout corps formellement réel intermédiaire entre F et sa clôture quadratique est superpythagoricien[16].
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