Constante de Gauss

En mathématiques, la constante de Gauss, notée G, est l'inverse de la moyenne arithmético-géométrique de 1 et de la racine carrée de deux^[1],[2],[3] :

${\displaystyle G={\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}\approx 0{,}8346268}$^{[N 1]}.

L'éponyme de cette constante est le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) car il a découvert le 30 mai 1799^{[4],[5],[6],[N 2]} à Brunswick^{[N 2]} que :

${\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$.

Relation avec d'autres constantes

La constante de Gauss peut être exprimée grâce à la valeur de la fonction bêta en (1/4, 1/2) :

${\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {\mathrm {B} } \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)}$

soit encore, grâce à la valeur de la fonction gamma en 1/4 :

${\displaystyle G=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/(2\pi )^{3/2}}$

et puisque π et Γ(1/4) sont algébriquement indépendants, la constante de Gauss est transcendante.

Constantes de la lemniscate

La constante de Gauss peut être utilisée dans la définition des constantes de la lemniscate.

• La première est

  ${\displaystyle L_{1}=\pi G={\frac {L}{2}}}$

  où ${\displaystyle L={\frac {\left(\operatorname {\Gamma } (1/4)\right)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}}$ est la longueur de la lemniscate de Bernoulli de paramètre a = 1

• La seconde est

  ${\displaystyle L_{2}={\frac {1}{2G}}}$.

Autres formules

La constante de Gauss peut également s'exprimer grâce à la fonction thêta de Jacobi :

${\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}({\rm {e}}^{-\pi })}$.

Une série rapidement convergente vers la constante de Gauss est :

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}~{\rm {e}}^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}{\rm {e}}^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}}$.

La constante est aussi donnée par un produit infini :

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right)}$.

La constante de Gauss a pour fraction continue [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, …]^{[N 3]}.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gauss's constant » (voir la liste des auteurs).

Notes

1. Pour les 20 000 premiers chiffres décimaux, voir ce lien de la suite A014549 de l'OEIS.
2. Sont retenus, la date et le lieu que Gauss a notés (n. 98) dans son Journal de mathématiques (1796-1814)^[7]. Borwein et Bailey ont publié un fac-similé de la note manuscrite de Gauss^[8]. La note, en latin, est la suivante : « Terminum medium arithmetico-geometricum inter ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ esse ${\displaystyle ={\frac {\pi }{\varpi }}}$ usque ad figuram undecimam comprobavimus, quare demonstrata prorsus novus campus in analysis certo aperietur. » Pour plus de détails, voir le § Histoire de l'article sur la moyenne arithmético-géométrique.
3. Pour les 20 000 premiers termes, voir ce lien de la suite A053002 de l'OEIS.

Références

1. Gourdon 2020, p. 190.
2. (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Constant », sur MathWorld.
3. (en) Keith B. Oldham, Jan C. Myland et Jerome Spanier, An Atlas of Functions : With Equator, New York, NY, Springer, 2009, 748 p. (ISBN 978-0-387-48806-6, lire en ligne), p. 15.
4. Barnett 2020, p. 47.
5. Cox 1984, p. 281.
6. Khelif 2010.
7. Eymard et Lafond 1956, n. 98, p. 40-41.
8. Borwein et Bailey 2008, fig. 1.2, p. 15.

Voir aussi

Bibliographie

• [Barnett 2020] (en) Janet Heine Barnett, « A Gaussian tale for the classroom », dans Maria Zack et Dirk Schlimm (éd.), Research in history and philosophy of mathematics : the CSHPM 2018 volume, Cham, Birkhäuser, coll. « Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics / Société canadienne d'histoire et de philosophie des mathématiques » (n^o 5), janvier 2020, 1^re éd., XIII-172 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-3-030-31196-4, EAN 9783030311964, OCLC 1240212492, DOI 10.1007/978-3-030-31298-5, SUDOC 253878772, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 9, p. 139-155.
• [Borwein et Bailey 2008] (en) Jonathan M. Borwein et David H. Bailey, Mathematics by experiment : plausible reasoning in the 21^st century, Wellesley, A. K. Peters, hors coll., octobre 2008, 2^e éd. (1^re éd. juin 2004), XI-377-[4], 15,2 × 22,9 cm (ISBN 978-1-56881-442-1, EAN 9781568814421, OCLC 494547277, DOI 10.1201/b10704, SUDOC 130966479, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Cox 1984] (en) David A. Cox, « The arithmetic-geometric mean of Gauss », L'Enseignement mathématique, 2^e série, t. XXX,‎ 1984, p. 275-330 (OCLC 937363834, DOI 10.5169/seals-53831, lire en ligne [PDF]).
• [Eymard et Lafond 1956] Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon, « Le Journal mathématique de Gauss : traduction française annotée », Revue d'histoire des sciences et de leurs applications, t. IX, n^o 1,‎ janvier-mars 1956, p. 21-51 (OCLC 4649261821, DOI 10.3406/rhs.1956.4346, JSTOR 23904695, lire en ligne [PDF]).
• [Gourdon 2020] Xavier Gourdon, Analyse, Paris, Ellipses, coll. « Les maths en tête » (n^o 1), avril 2020, 3^e éd. (1^re éd. avril 1994), 452 p., 17,5 × 26 cm (ISBN 978-2-340-03856-1, EAN 9782340038561, OCLC 1160201780, BNF 46557782, SUDOC 24513283X, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes

• Lemniscate
• Fonction lemniscatique

Liens externes

• [Khelif 2010] Hamza Khelif, « Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli », tribune , sur Images des mathématiques, CNRS, 30 juin 2010.
• (en) « Gauss's constant » [« constante de Gauss »] , sur WolframAlpha, Wolfram Research.
• (en) Eric W. Weisstein, « Lemniscate Constant », sur MathWorld.

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