From Wikipedia, the free encyclopedia
Kolmitulo on geometriassa, algebrassa ja useissa fysikaalisissa sovelluksissa yhteisnimi kahdelle kolmen vektorin väliselle laskutoimitukselle kolmiulotteisessa avaruudessa. Skalaarikolmitulossa tuloksi saadaan skalaari, vektorikolmitulossa sen sijaan uusi kolmiulotteisen avaruuden vektori.
Kolmen vektorin skalaarikolmitulo määritellään vektoreista yhden pistetulona molempien muiden ristitulon kanssa:
Voidaan osoittaa, että mille tahansa kolmiulotteisen avaruuden vektoreille a, b ja c pätee:
joten yhtä hyvin skalaaritulo voitaisiin määritellä myös tulona
Geometrisesti kolmen samasta pisteestä alkavan vektorin skalaarikolmitulon
itseisarvo on sama kuin näiden vektorien määrittämän suuntaissärmiön tilavuus.[1]
Tämä ilmaisee vektorimuodossa sen seikan, että kahden 3×3-matriisin determinanttien tulo on sama kuin niiden matriisitulon determinantti. Erikoistapauksena skalaarikolmitulon neliö on Gramin determinantti.
, ja sen arvot ovat aina välillä [−1, 1].
Vaikka skalaarikolmitulon itseisarvo osoittaa vektorien muodostaman suuntaissärmiön tilavuuden, se itsessään on etumerkillinen luku, ja sen etumerkki riippuu avaruuden orientaatiosta ja näin ollen se muuttuu vastaluvukseen, jos orientaatio käännetään, esimerkiksi pariteettimuunnoksessa tai peilauksessa tason suhteen. Näin ollen skalaarikolmitulo on itse asiassa pseudoskalaari.[3]
Tämä liittyy siihen, että myös vektorien ristitulo vaihtuu vastavektorikseen pariteettimuunnoksessa ja näin ollen se on itse asiassa pseudovektori. Kahden tavallisen (polaarisen) vektorin pistetulo on skalaari, mutta tällaisen vektorin ja pseudovektorin pistetulo on pseudoskalaari, ja näin ollen myös (polaaristen) vektorien skalaaritulo on pseudoskalaari.
Tavallisen vektorin ja pseudovektorin ristitulo on kuitenkin tavallinen (polaarinen) vektori. Näin ollen jos yksi skalaarikolmitulossa mukana olevista vektoreista on pseudovektori, kolmitulo on normaali skalaari, ei pseudoskalaari.
Jos T on avaruuden aito rotaatio, on
mutta jos T on epäaito rotaatio, on
Tarkkaan ottaen skalaari ei koordinaattien muunnoksessa muutu lainkaan. Jos esimerkiksi vektorit kerrotaan vakiolla 2, tämä vakio on sama, käytettiinpä suorakulmaisia tai pallokoordinaatteja. Jos kuitenkin jokainen vektori muunnetaan matriisilla, niiden skalaarikolmitulo tulee kerrotuksi tämän matriisin determinantilla, ja ellei muunnos ole rotaatio, tämä voi saada minkä tahansa reaalilukuarvon. Tämän vuoksi kolmitulo on tarkkaan ottaen katsottava skalaaritiheydeksi.
Ulkoisessa algebrassa ja geometrisessa algebrassa kahden vektorin ulkoinen tulo on bivektori, kun taas kolmen vektorin ulkoinen tulo on trivektori. Bivektori on suunnattu tasoalkio ja trivektori suunnattu tilavuusalkio samassa mielessä kuin vektori on suunnattu jana.
Kolmen vektorin a, b ja c, ulkoinen tulo
on trivektori, jonka itseisarvoltaan on yhtä suuri kuin näiden vektorien skalaarikolmitulo, toisin sanoen
ja se on samalla skalaarikolmitulon Hodgen duaali. Koska ulkoinen tulo on liitännäinen, sulkumerkit voidaan tästä lausekkeesta jättää pois eikä ole merkitystä sillä, kumpi ulkoisista tuloista, a ∧ b vai b ∧ c, lasketaan ensin, joskin vektorien keskinäinen järjestys on merkityksellinen. Geometrisesti trivektori a ∧ b ∧ c vastaa vektorien a, b ja c määrittämää suuntaissärmiötä, kun taas bivektorit a ∧ b}}, b ∧ c ja a ∧ c vastaavat niitä suunnikkaita, jotka ovat tämän särmiön sivuina.
Fysiikassa skalaarikolmitulo esiintyy muun muassa seuraavissa yhteyksissä:
Kolmen vektorin vektorikolmitulo määritellään niistä yhden ristitulona molempien muiden ristitulon kanssa</ref name=LL />. Samoille vektoreille a, b ja c voidaan määritellä kaksi vektorikolmituloa, ja ,
ja koska vektorien ristitulo ei ole liitännäinen, nämä ovat yleensä eri vektoreita.[1] Näistä edellinen on kohtisuorassa vektoriin a nähden ja vektorien b ja c määrittämässä tasossa, jälkimmäinen taas vektorien a ja b määrittämässä tasossa ja kohtisuorassa vektoria c vastaan.[1]
Vektorikolmitulolle pätee kolmitulon kehityskaava[1]
joka tunnetaan myös Lagrangen kaavana, joskin samaa nimeä käytetään useista muistakin kaavoista. Joseph Louis Lagrange ei tosin käyttänyt vektorien algebrallisena tulona määriteltyä ristituloa, mutta hän käytti niiden komponenttien avulla yhtäpitävällä tavalla määriteltyä lauseketta ja muodosti niiden avulla vastaavan yhtälön.[6][7]
Vaihtoehtoisesti kehityskaava voidaan esittää myös muodossa mihin liittyy muistisääntö: "BAC − CAB", englannin kielessä ikään kuin “back of the cab”, "rattaiden takapää".
Koska vektorien ristitulo muuttuu vastavektorikseen, kun sen tekijät vaihdetaan keskenään, tämä kaava voidaan kirjoittaa myös muodossa
Lagrangen kaavasta seuraa edelleen, että vektorikolmitulolle pätee:
mikä on ristitulon Jacobin identiteetti. Niin ikään pätee:
Nämä kaavat ovat hyvin käyttökelpoisia fysiikassa, jossa niillä voidaan yksinkertaistaa vektoreilla suoritettavia laskutoimituksia.
Muodollisesti aivan vektoritulon kehityskaavan kaltainen sääntö pätee vektorianalyysissa myös, kun vektorikolmitulon kaksi ensimmäistä vektoria korvataan nablaoperaattorilla:[8]
Koska merkitsee skalaarifunktion gradienttia, vektorifunktion divergenssiä ja sen roottoria, voidaan tämä kirjoittaa myös muotoon:
.[9]
Vektoritulon kehityskaava eli Lagrangen kaava voidaan todistaa seuraavasti:
Ristitulon -akselin suuntainen komponentti saadaan seuraavasti:
Vastaavasti sen - ja -akselien suuntaiset komponentit ovat:
Yhdistämällä nämä komponentit saadaan:
Fysiikassa vektorikolmitulo esiintyy muun muassa pyörivässä koordinaatistossa olevaan kappaleeseen kohdistuvan sentrifugaalivoiman lausekkeessa:
missä ω on koordinaatiston kulmanopeus ja r kappaleen etäisyys pyörimisliikkeen keskipisteestä.[11]
Edellä esitettyä kehityskaavan nablaoperaattoria koskevaa muotoa käytetään johdettaessa Maxwellin yhtälöistä sähkömagneettisten aaltojen aaltoyhtälö.[9]
Tensorilaskennassa vektorien kolmitulot voidaan esittää Levi-Civita-symbolin avulla:[12] and jotka viittaavat tuloksena saadun vektorin math>i</math>:nteen komponenttiin. Tätä voidaan yksinkertaistaa suorittamalla Levi-Civita-symbolille kontraktio, missä on Kroneckerin delta (, kun and kun ) ja yleistetty Kroneckerin delta. Tämä identiteetti voidaan päätellä siitä, että indeksi summautuu niin, että jäljelle jäävät vain ja . Ensimmäisessä termissä asetetaan ja näin ollen . Vastaavasti toisessa termissä asetetaan ja näin ollen .
Palaamalla vektorikolmituloon saadaan
Tarkastellaan vektorikentän vuopintaintegraalia parametrimuodossa määritellyn pinnan yli: . Tämän pinnan yksikkönormaalivektori on , mistä seuraa, että on skalaarikolmitulo.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.