Kolmitulo

Kolmitulo on geometriassa, algebrassa ja useissa fysikaalisissa sovelluksissa yhteisnimi kahdelle kolmen vektorin väliselle laskutoimitukselle kolmiulotteisessa avaruudessa. Skalaarikolmitulossa tuloksi saadaan skalaari, vektorikolmitulossa sen sijaan uusi kolmiulotteisen avaruuden vektori.

Skalaarikolmitulo

Kolmen vektorin skalaarikolmitulo määritellään vektoreista yhden pistetulona molempien muiden ristitulon kanssa:

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})}$.^[1]

Voidaan osoittaa, että mille tahansa kolmiulotteisen avaruuden vektoreille a, b ja c pätee:

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=(({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}}$,

joten yhtä hyvin skalaaritulo voitaisiin määritellä myös tulona

${\displaystyle (({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot {\boldsymbol {c}}}$.

Geometrinen tulkinta

Kolme samasta pisteestä alkavaa vektoria ja niiden määrittämä suuntaissärmiö

Geometrisesti kolmen samasta pisteestä alkavan vektorin skalaarikolmitulon

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$

itseisarvo on sama kuin näiden vektorien määrittämän suuntaissärmiön tilavuus.^[1]

Ominaisuuksia

• Skalaarikolmitulo pysyy muuttumattomana sen muodostamien vektorien a', b ja c suoritetaan kiertovaihtelussa:^[1]

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

• Skalaarikolmitulon arvo pysyy muuttumattomana, jos sen operaattorit (piste ja risti) vaihdetaan keskenään muuttamatta kerrottavien vektorien järjestystä.^[1] Tämä seuraa edellisestä sekä pistetulon vaihdannaisuudesta:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$

• Jos mitkä tahansa kaksi kerrottavista vektoreista vaihdetaan keskenään, skalaarikolmitulon arvo muuttuu vastaluvukseen. Tämä seuraa siitä, että vektorien ristitulo muuttuu vastavektorikseen, jos kerrottavat vektorit vaihdetaan keskenään:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{aligned}}}$

• Skalaarikolmitulo voidaan käsittää myös sen 3×3-matriisin determinatiksi, jossa kerrottavat vektorit ovat joko riveinä tai sarakkeina (matriisin determinanttihan on sama kuin sen transpoosin):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.}$

• Skalaarikolmitulo on nolla, jos ja vain jos sen muodostavat vektorit ovat samassa tasossa; silloinhan niiden määrittämä suuntaissärmiö on surkastunut tasokuvioksi, jonka tilavuus on nolla.
• Jos mitkä tahansa kaksi skalaarikolmitulon vektoria ovat yhtä suuret, skalaarikolmitulo on nolla:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}$

• Myös:

  ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

• Tulo, joka saadaan kertomalla kahden vektorikolmikon skalaarikolmitulot keskenään, on yhtä suuri kuin sellaisen matriisin determinantti, jonka alkiona ovat näiden vektorien pistetulot seuraavasti:^[2]

$${\displaystyle ((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}}$$ Tämä ilmaisee vektorimuodossa sen seikan, että kahden 3×3-matriisin determinanttien tulo on sama kuin niiden matriisitulon determinantti. Erikoistapauksena skalaarikolmitulon neliö on Gramin determinantti.

• Skalaarikolmitulon ja sen muodostamien kolmen vektorin normien tuloa sanotaan polaariseksi siniksi:

$${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\|{\mathbf {a} }\|\|{\mathbf {b} }\|\|{\mathbf {c} }\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$$, ja sen arvot ovat aina välillä [−1, 1].

Skalaarikolmitulo pseudoskalaarina

Vaikka skalaarikolmitulon itseisarvo osoittaa vektorien muodostaman suuntaissärmiön tilavuuden, se itsessään on etumerkillinen luku, ja sen etumerkki riippuu avaruuden orientaatiosta ja näin ollen se muuttuu vasta­luvukseen, jos orientaatio käännetään, esimerkiksi pariteetti­muunnoksessa tai peilauksessa tason suhteen. Näin ollen skalaari­kolmi­tulo on itse asiassa pseudoskalaari.^[3]

Tämä liittyy siihen, että myös vektorien ristitulo vaihtuu vastavektorikseen pariteetti­muunnoksessa ja näin ollen se on itse asiassa pseudovektori. Kahden tavallisen (polaarisen) vektorin pistetulo on skalaari, mutta tällaisen vektorin ja pseudovektorin pistetulo on pseudoskalaari, ja näin ollen myös (polaaristen) vektorien skalaaritulo on pseudoskalaari.

Tavallisen vektorin ja pseudovektorin ristitulo on kuitenkin tavallinen (polaarinen) vektori. Näin ollen jos yksi skalaari­kolmi­tulossa mukana olevista vektoreista on pseudovektori, kolmitulo on normaali skalaari, ei pseudoskalaari.

Jos T on avaruuden aito rotaatio, on

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$,

mutta jos T on epäaito rotaatio, on

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$

Skalaarikolmitulo skalaaritiheytenä

Tarkkaan ottaen skalaari ei koordinaattien muunnoksessa muutu lainkaan. Jos esimerkiksi vektorit kerrotaan vakiolla 2, tämä vakio on sama, käytettiinpä suorakulmaisia tai pallo­koordinaatteja. Jos kuitenkin jokainen vektori muunnetaan matriisilla, niiden skalaari­kolmi­tulo tulee kerrotuksi tämän matriisin determinantilla, ja ellei muunnos ole rotaatio, tämä voi saada minkä tahansa reaalilukuarvon. Tämän vuoksi kolmitulo on tarkkaan ottaen katsottava skalaari­tiheydeksi.

Skalaarikolmitulo ulkoisena tulona

Suuntaissärmiön muodostavien kolmen vketorien skalaarikolmitulo on yhtä suuri kuin tämän särmiön tilavuus. (Nuolten suunnat tässä kaaviossa eivät kuitenkaan ole oikein).

Ulkoisessa algebrassa ja geometrisessa algebrassa kahden vektorin ulkoinen tulo on bivektori, kun taas kolmen vektorin ulkoinen tulo on trivektori. Bivektori on suunnattu tasoalkio ja trivektori suunnattu tilavuusalkio samassa mielessä kuin vektori on suunnattu jana.

Kolmen vektorin a, b ja c, ulkoinen tulo

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} }$

on trivektori, jonka itseisarvoltaan on yhtä suuri kuin näiden vektorien skalaarikolmitulo, toisin sanoen

${\displaystyle |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$,

ja se on samalla skalaarikolmitulon Hodgen duaali. Koska ulkoinen tulo on liitännäinen, sulkumerkit voidaan tästä lausekkeesta jättää pois eikä ole merkitystä sillä, kumpi ulkoisista tuloista, a ∧ b vai b ∧ c, lasketaan ensin, joskin vektorien keskinäinen järjestys on merkityksellinen. Geometrisesti trivektori a ∧ b ∧ c vastaa vektorien a, b ja c määrittämää suuntaissärmiötä, kun taas bivektorit a ∧ b}}, b ∧ c ja a ∧ c vastaavat niitä suunnikkaita, jotka ovat tämän särmiön sivuina.

Skalaarikolmitulo fysiikassa

Fysiikassa skalaarikolmitulo esiintyy muun muassa seuraavissa yhteyksissä:

• Tiettyyn pisteen kohdistuvan voiman vääntömomentti akselin suhteen on

${\displaystyle p={\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}}$,

missä n on akselin suuntainen yksikkövektori, r voiman vaikutuspisteen paikkavektori akselilla olevan pisteen suhteen F vaikuttava voima.^[4]

• Magneettikentässä liikkuvan johtimen lyhyeen osaan indusoima sähkömotorinen voima eli lähdejännite dε_i on

${\displaystyle d{\boldsymbol {\epsilon _{i}}}={\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {dl}}}$,

missä v on liikkuvan johtimen nopeus, dl johdinalkion pituus ja B magneettikentän magneettivuon tiheys.^[5]

Vektorikolmitulo

Kolmen vektorin vektorikolmitulo määritellään niistä yhden ristitulona molempien muiden ristitulon kanssa</ref name=LL />. Samoille vektoreille a, b ja c voidaan määritellä kaksi vektorikolmituloa, ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})}$ ja ${\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}}$,

ja koska vektorien ristitulo ei ole liitännäinen, nämä ovat yleensä eri vektoreita.^[1] Näistä edellinen on kohtisuorassa vektoriin a nähden ja vektorien b ja c määrittämässä tasossa, jälkimmäinen taas vektorien a ja b määrittämässä tasossa ja kohtisuorassa vektoria c vastaan.^[1]

Vektorikolmitulolle pätee kolmitulon kehityskaava^[1]

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$,

joka tunnetaan myös Lagrangen kaavana, joskin samaa nimeä käytetään useista muistakin kaavoista. Joseph Louis Lagrange ei tosin käyttänyt vektorien algebrallisena tulona määriteltyä ristituloa, mutta hän käytti niiden komponenttien avulla yhtäpitävällä tavalla määriteltyä lauseketta ja muodosti niiden avulla vastaavan yhtälön.^[6][7]

Vaihtoehtoisesti kehityskaava voidaan esittää myös muodossa ${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$ mihin liittyy muistisääntö: "BAC − CAB", englannin kielessä ikään kuin “back of the cab”, "rattaiden takapää".

Koska vektorien ristitulo muuttuu vastavektorikseen, kun sen tekijät vaihdetaan keskenään, tämä kaava voidaan kirjoittaa myös muodossa

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }$

Lagrangen kaavasta seuraa edelleen, että vektorikolmitulolle pätee:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} }$

mikä on ristitulon Jacobin identiteetti. Niin ikään pätee:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

Nämä kaavat ovat hyvin käyttökelpoisia fysiikassa, jossa niillä voidaan yksinkertaistaa vektoreilla suoritettavia laskutoimituksia.

Muodollisesti aivan vektoritulon kehityskaavan kaltainen sääntö pätee vektorianalyysissa myös, kun vektorikolmitulon kaksi ensimmäistä vektoria korvataan nablaoperaattorilla:^[8]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} }$

Koska ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f}$ merkitsee skalaarifunktion gradienttia, ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {f}}}$ vektorifunktion divergenssiä ja ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {f}}}$ sen roottoria, voidaan tämä kirjoittaa myös muotoon:

${\displaystyle {\mbox{rot}}{\mbox{rot}}{\boldsymbol {A}}={\mbox{grad}}{\mbox{div}}{\boldsymbol {A}}-({\boldsymbol {\nabla }}^{2}{\boldsymbol {A}}}$.^[9]

Kehityskaavan todistus

Vektoritulon kehityskaava eli Lagrangen kaava voidaan todistaa seuraavasti:

Ristitulon ${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$ ${\displaystyle x}$-akselin suuntainen komponentti saadaan seuraavasti:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{aligned}}}$

Vastaavasti sen ${\displaystyle y}$- ja ${\displaystyle z}$-akselien suuntaiset komponentit ovat:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{aligned}}}$

Yhdistämällä nämä komponentit saadaan:

${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w} }$^[10]

Vektorikolmitulo fysiikassa

Fysiikassa vektorikolmitulo esiintyy muun muassa pyörivässä koordinaatistossa olevaan kappaleeseen kohdistuvan sentrifugaalivoiman lausekkeessa:

${\displaystyle F=\omega \times (\omega \times r)}$,

missä ω on koordinaatiston kulmanopeus ja r kappaleen etäisyys pyörimisliikkeen keskipisteestä.^[11]

Edellä esitettyä kehityskaavan nablaoperaattoria koskevaa muotoa käytetään johdettaessa Maxwellin yhtälöistä sähkömagneettisten aaltojen aaltoyhtälö.^[9]

Tulkintoja

Tensorilaskenta

Tensorilaskennassa vektorien kolmitulot voidaan esittää Levi-Civita-symbolin avulla:^[12] $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}$$ and $${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon ^{k\ell m}b_{\ell }c_{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}a^{j}b_{\ell }c_{m},}$$ jotka viittaavat tuloksena saadun vektorin math>i</math>:nteen komponenttiin. Tätä voidaan yksinkertaistaa suorittamalla Levi-Civita-symbolille kontraktio, ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}=\delta _{ij}^{\ell m}=\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\,,}$ missä ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ on Kroneckerin delta (${\displaystyle \delta _{j}^{i}=0}$, kun ${\displaystyle i\neq j}$ and ${\displaystyle \delta _{j}^{i}=1}$ kun ${\displaystyle i=j}$) ja ${\displaystyle \delta _{ij}^{\ell m}}$ yleistetty Kroneckerin delta. Tämä identiteetti voidaan päätellä siitä, että indeksi ${\displaystyle k}$ summautuu niin, että jäljelle jäävät vain ${\displaystyle i}$ ja ${\displaystyle j}$. Ensimmäisessä termissä asetetaan ${\displaystyle i=l}$ ja näin ollen ${\displaystyle j=m}$. Vastaavasti toisessa termissä asetetaan ${\displaystyle i=m}$ ja näin ollen ${\displaystyle l=j}$.

Palaamalla vektorikolmituloon saadaan $${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=(\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell })a^{j}b_{\ell }c_{m}=a^{j}b_{i}c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,.}$$

Vectorianalyysi

Tarkastellaan vektorikentän ${\displaystyle \mathbf {F} }$ vuo­pinta­integraalia parametri­muodossa määritellyn pinnan ${\displaystyle S=\mathbf {r} (u,v)}$ yli: ${\textstyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$. Tämän pinnan yksikkönormaalivektori on ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$, mistä seuraa, että ${\textstyle \mathbf {F} \cdot {\frac {(\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v})}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$ on skalaarikolmitulo.

Lähteet

1. Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino: ”Kolmitulo”, Matematiikka 12, lukion laajempi kurssi, s. 110–112. Kirjayhtymä, 1975. ISBN 951-26-0247-4
2. Chun Wa Wong: Introduction to Mathematical Physics: Methods & Concepts, s. 215. Oxford University Press < Vuosi = 2013. ISBN 9780199641390 Teoksen verkkoversio.
3. Scalar Tripe Product Wolfram Math World. Eric W. Weisstein. Viitattu 23.10.2024.
4. Siiri Anttonen: ”Kolmitulot, esimerkki 13”, Vektorianalyysin sovelluksia fysiikassa, s. 19. Turun yliopisto, 2023. Teoksen verkkoversio.
5. Leena Lahti: ”Indusoitunut sähkömotorinen voima”, Sähköoppi, s. 131–132. Gaudeamus, 1977. ISBN 951-662-044-2
6. J. L. Lagrange: ”Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires”, Oeuvres, vol 3. Académie royqle des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, 1773. Teoksen verkkoversio.
7. Kiyosi Itô: ”Vector product”, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, s. 1679. MIT Press, 1987. ISBN 0-262-59020-4 Teoksen verkkoversio.
8. Esko Eloranta: ”Laplacen operaattori ja nablalla operoimissäännöt”, Geofysiikan kenttäteoria, s. 42. Säteilyturvakeskus, 2007. ISBN 978-952-478-195-4 Teoksen verkkoversio.
9. Jouko Virkkunen: ”Maxwellin yhtälöt: Sähkömagneettiset aallot”, Otavan suuri Ensyklopedia, 6. osa (Malaijit–Oppiminen), s. 4197. Otava, 1979. ISBN 951-1-05122-9
10. J. Heading: Mathematical Methods in Science and Engineering, s. 262–263. American Elsevier Publishing Company, Inc, 1970.
11. Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio: ”Tasaisesti pyörivä koordinaatisto”, Vuorovaikuttavat kappaleet – Mekaniikan perusteet, s. 410 –411. Limes ry, 1997. ISBN 951-745-167-9
12. Permutation Tensor Wolfram MathWorld. Eric W. Weisstein. Viitattu 23.10.2024.