Lineaarikombinaatio

Lineaarikombinaatio tai lineaariyhdistely^[1] on matematiikassa lause, jossa joukko termejä kerrotaan kukin omalla kertoimellaan ja lasketaan yhteen.

Määritelmä

Olkoon K kunta ja V K kertoiminen vektoriavaruus K. Tällöin V:n alkioita nimitetään vektoreiksi ja K:n alkioita skalaareiksi. Jos v₁,...,v_n ovat V:n vektoreita ja a₁,...,a_n${\displaystyle \in K}$ ovat skalaareita, on näiden vektoreiden lineaarikombinaatio muotoa

${\displaystyle a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}\,}$

Tilanteesta riippuen K ja V voidaan antaa eksplisiittisesti tai ne voidaan olettaa asiayhteydestä tunnetuksi. Jos kerroinkunta tiedetään, voidaan puhua yleisesti vektoreiden v₁,...,v_n lineaarikombinaatiosta. Jos toisaalta S on V:n osajoukko, voi käsite lineaarikombinaatio tarkoittaa sitä, että vektorit kuuluvat joko S:ään tai V:hen. Selkeyden vuoksi on tällöin mainittava kumpaa joukkoa tarkoitetaan.

Määritelmän mukaan lineaarikombinaatiossa on otettuna mukaan vain äärellisen monta vektoria. Itse vektoriavaruus V voi toki sisältää äärettömän monta vektoria, mutta niistä on valittava vain äärellisen monta, mikäli halutaan puhua lineaarikombinaatiosta.

Esimerkki

Olkoon x ja y lineaarisesti riippumattomia ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$:n vektoreita. Tällöin ${\displaystyle ax+by,}$ missä ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, kattavat kaikki 2-ulotteisen reaaliavaruuden pisteet. Toisaalta kaikki reaalikertoimiset vektoreiden x ja y lineaarikombinaatiot ovat tätä muotoa.