From Wikipedia, the free encyclopedia
Studentin t-jakauma on todennäköisyysjakauma, jota hyödynnetään normaalijakautuneiden populaatioiden keskiarvon tarkastelussa kun otoskoko on pieni. Yleisesti käytetty t-testi perustuu t-jakaumaan.
Tiheysfunktio | |
Kertymäfunktio | |
Parametrit | ν > 0 vapausaste (reaalinen) |
---|---|
Määrittelyjoukko | x ∈ (−∞; +∞) |
Tiheysfunktio | |
Kertymäfunktio | missä 2F1 on hypergeometrinen funktio |
Odotusarvo | 0 kun ν > 1, muulloin määrittelemätön |
Mediaani | 0 |
Moodi | 0 |
Varianssi | kun ν > 2, ∞ kun 1 < ν ≤ 2, muulloin määrittelemätön |
Vinous | 0 kun ν > 3, muulloin määrittelemätön |
Huipukkuus | kun ν > 4, ∞ kun 2 < ν ≤ 4, muulloin määrittelemätön |
Entropia |
|
Momentit generoiva funktio | määrittelemätön |
Karakteristinen funktio | kun ν > 0 |
Kun satunnaismuuttuja X noudattaa t-jakaumaa, sen tiheysfunktio on:
jonka parametria kutsutaan vapausasteeksi, ja on gammafunktio.
Jakauman kertymäfunktio on:
jossa on epätäydellisen ja täydellisen beta-funktion suhde (engl. regularized beta function)
ja
t-jakauma muistuttaa muodoltaan odotusarvolla 0 ja varianssilla 1 jakautunutta normaalijakaumaa, mutta sillä on paksummat hännät. Vapausasteiden kasvaessa se lähestyy kyseistä normaalijakaumaa. t-jakaumalla on myös yhteys F-jakaumaan: noudattaa F-jakaumaa 1 ja vapausasteella.
t-jakauman johdon t-testisuureen jakaumana julkaisi ensimmäisenä 1908 William Sealy Gosset. Hän työskenteli Guinnessin panimolla Dublinissa ja tutki parhaiden ohralajikkeiden valintaa. Hän ei saanut julkaista tuloksiaan omalla nimellään, koska panimolla pelättiin salaisen tiedon vuotamista. Tämän vuoksi hän käytti salanimeä Student, jotta työnantaja ei huomaisi julkaisua. t-testi ja siihen liittyvä teoria tuli tunnetuksi Ronald Fisherin työn kautta.
Seuraavassa on jakauman arvot muutamille kertymäfunktion prosenttipisteille ja muutamille vapausasteille .
Esimerkiksi yksisuuntaisen testin kriittinen arvo 10 % riskitasolla ja 4 vapausasteella on 1,533. Se tarkoittaa, että Pr(X < 1,533) = 0,9.
Jakauman symmetrisyyden vuoksi
jolloin raja-arvo vastaa kaksisuuntaisen testin 20 % riskitasoa:
75% | 80% | 85% | 90% | 95% | 97.5% | 99% | 99.5% | 99.75% | 99.9% | 99.95% | |
1 | 1.000 | 1.376 | 1.963 | 3.078 | 6.314 | 12.71 | 31.82 | 63.66 | 127.3 | 318.3 | 636.6 |
2 | 0.816 | 1.061 | 1.386 | 1.886 | 2.920 | 4.303 | 6.965 | 9.925 | 14.09 | 22.33 | 31.60 |
3 | 0.765 | 0.978 | 1.250 | 1.638 | 2.353 | 3.182 | 4.541 | 5.841 | 7.453 | 10.21 | 12.92 |
4 | 0.741 | 0.941 | 1.190 | 1.533 | 2.132 | 2.776 | 3.747 | 4.604 | 5.598 | 7.173 | 8.610 |
5 | 0.727 | 0.920 | 1.156 | 1.476 | 2.015 | 2.571 | 3.365 | 4.032 | 4.773 | 5.893 | 6.869 |
6 | 0.718 | 0.906 | 1.134 | 1.440 | 1.943 | 2.447 | 3.143 | 3.707 | 4.317 | 5.208 | 5.959 |
7 | 0.711 | 0.896 | 1.119 | 1.415 | 1.895 | 2.365 | 2.998 | 3.499 | 4.029 | 4.785 | 5.408 |
8 | 0.706 | 0.889 | 1.108 | 1.397 | 1.860 | 2.306 | 2.896 | 3.355 | 3.833 | 4.501 | 5.041 |
9 | 0.703 | 0.883 | 1.100 | 1.383 | 1.833 | 2.262 | 2.821 | 3.250 | 3.690 | 4.297 | 4.781 |
10 | 0.700 | 0.879 | 1.093 | 1.372 | 1.812 | 2.228 | 2.764 | 3.169 | 3.581 | 4.144 | 4.587 |
11 | 0.697 | 0.876 | 1.088 | 1.363 | 1.796 | 2.201 | 2.718 | 3.106 | 3.497 | 4.025 | 4.437 |
12 | 0.695 | 0.873 | 1.083 | 1.356 | 1.782 | 2.179 | 2.681 | 3.055 | 3.428 | 3.930 | 4.318 |
13 | 0.694 | 0.870 | 1.079 | 1.350 | 1.771 | 2.160 | 2.650 | 3.012 | 3.372 | 3.852 | 4.221 |
14 | 0.692 | 0.868 | 1.076 | 1.345 | 1.761 | 2.145 | 2.624 | 2.977 | 3.326 | 3.787 | 4.140 |
15 | 0.691 | 0.866 | 1.074 | 1.341 | 1.753 | 2.131 | 2.602 | 2.947 | 3.286 | 3.733 | 4.073 |
16 | 0.690 | 0.865 | 1.071 | 1.337 | 1.746 | 2.120 | 2.583 | 2.921 | 3.252 | 3.686 | 4.015 |
17 | 0.689 | 0.863 | 1.069 | 1.333 | 1.740 | 2.110 | 2.567 | 2.898 | 3.222 | 3.646 | 3.965 |
18 | 0.688 | 0.862 | 1.067 | 1.330 | 1.734 | 2.101 | 2.552 | 2.878 | 3.197 | 3.610 | 3.922 |
19 | 0.688 | 0.861 | 1.066 | 1.328 | 1.729 | 2.093 | 2.539 | 2.861 | 3.174 | 3.579 | 3.883 |
20 | 0.687 | 0.860 | 1.064 | 1.325 | 1.725 | 2.086 | 2.528 | 2.845 | 3.153 | 3.552 | 3.850 |
21 | 0.686 | 0.859 | 1.063 | 1.323 | 1.721 | 2.080 | 2.518 | 2.831 | 3.135 | 3.527 | 3.819 |
22 | 0.686 | 0.858 | 1.061 | 1.321 | 1.717 | 2.074 | 2.508 | 2.819 | 3.119 | 3.505 | 3.792 |
23 | 0.685 | 0.858 | 1.060 | 1.319 | 1.714 | 2.069 | 2.500 | 2.807 | 3.104 | 3.485 | 3.767 |
24 | 0.685 | 0.857 | 1.059 | 1.318 | 1.711 | 2.064 | 2.492 | 2.797 | 3.091 | 3.467 | 3.745 |
25 | 0.684 | 0.856 | 1.058 | 1.316 | 1.708 | 2.060 | 2.485 | 2.787 | 3.078 | 3.450 | 3.725 |
26 | 0.684 | 0.856 | 1.058 | 1.315 | 1.706 | 2.056 | 2.479 | 2.779 | 3.067 | 3.435 | 3.707 |
27 | 0.684 | 0.855 | 1.057 | 1.314 | 1.703 | 2.052 | 2.473 | 2.771 | 3.057 | 3.421 | 3.690 |
28 | 0.683 | 0.855 | 1.056 | 1.313 | 1.701 | 2.048 | 2.467 | 2.763 | 3.047 | 3.408 | 3.674 |
29 | 0.683 | 0.854 | 1.055 | 1.311 | 1.699 | 2.045 | 2.462 | 2.756 | 3.038 | 3.396 | 3.659 |
30 | 0.683 | 0.854 | 1.055 | 1.310 | 1.697 | 2.042 | 2.457 | 2.750 | 3.030 | 3.385 | 3.646 |
40 | 0.681 | 0.851 | 1.050 | 1.303 | 1.684 | 2.021 | 2.423 | 2.704 | 2.971 | 3.307 | 3.551 |
50 | 0.679 | 0.849 | 1.047 | 1.299 | 1.676 | 2.009 | 2.403 | 2.678 | 2.937 | 3.261 | 3.496 |
60 | 0.679 | 0.848 | 1.045 | 1.296 | 1.671 | 2.000 | 2.390 | 2.660 | 2.915 | 3.232 | 3.460 |
80 | 0.678 | 0.846 | 1.043 | 1.292 | 1.664 | 1.990 | 2.374 | 2.639 | 2.887 | 3.195 | 3.416 |
100 | 0.677 | 0.845 | 1.042 | 1.290 | 1.660 | 1.984 | 2.364 | 2.626 | 2.871 | 3.174 | 3.390 |
120 | 0.677 | 0.845 | 1.041 | 1.289 | 1.658 | 1.980 | 2.358 | 2.617 | 2.860 | 3.160 | 3.373 |
0.674 | 0.842 | 1.036 | 1.282 | 1.645 | 1.960 | 2.326 | 2.576 | 2.807 | 3.090 | 3.291 |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.