Bernoullin jakauma

Bernoullin jakauma tai Bernoulli-jakauma on dikotomisen kokeen lopputuloksen jakauma. Se on nimetty sveitsiläisen matemaatikon Jakob Bernoullin mukaan.

Bernoullin jakauma

Todennäköisyysfunktio
Parametrit	${\displaystyle 0<p<1,p\in \mathbb {R} }$
Määrittelyjoukko	${\displaystyle k=\{0,1\}\,}$
Pistetodennäköisyysfunktio	${\displaystyle {\begin{cases}q=(1-p)&{\text{kun }}k=0\\p&{\text{kun }}k=1\end{cases}}}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{kun }}k<0\\q&{\text{kun }}0\leq k<1\\1&{\text{kun }}k\geq 1\end{cases}}}$
Odotusarvo	${\displaystyle p\,}$
Mediaani	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{jos }}q>p\\0.5&{\text{jos }}q=p\\1&{\text{jos }}q<p\end{cases}}}$
Moodi	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{jos }}q>p\\0,1&{\text{jos }}q=p\\1&{\text{jos }}q<p\end{cases}}}$
Varianssi	${\displaystyle p(1-p)\,}$
Vinous	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}$
Huipukkuus	${\displaystyle {\frac {1-6pq}{pq}}}$
Entropia	${\displaystyle -q\ln(q)-p\ln(p)\,}$
Momentit generoiva funktio	${\displaystyle q+pe^{t}\,}$
Karakteristinen funktio	${\displaystyle q+pe^{it}\,}$
Todennäköisyydet generoiva funktio	${\displaystyle q+pz\,}$
Fisherin informaatiomatriisi	${\displaystyle {\frac {1}{p(1-p)}}}$

Bernoullin jakauma on diskreetti, ja sen arvojoukko on ${\displaystyle \{0,1\}}$. Jos satunnaismuuttuja ${\displaystyle X}$ on Bernoulli-jakautunut, merkitään^[1]

${\displaystyle X\sim \operatorname {B} (p).}$

Jakauman parametri ${\displaystyle p}$ on tuloksen ${\displaystyle 1}$ todennäköisyys. Pistetodennäköisyysfunktio on

${\displaystyle \operatorname {P} (X=n)=p^{n}(1-p)^{1-n}.}$

Odotusarvo ja varianssi ovat

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=p}$ ja ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=p(1-p).}$