Projektiivinen geometria
From Wikipedia, the free encyclopedia
Projektiivinen geometria on geometrian ala, joka tutkii ominaisuuksia, jotka säilyvät keskeisprojektioissa tasolta tasolle. [1] Projektiivisessa geometriassa pisteiden oletetaan sijaitsevan projektiivisessa avaruudessa, jossa voidaan intuitiivisesti ajatella olevan enemmän pisteitä kuin yhtä moniulotteisessa euklidisessa avaruudessa, ja näiden "ylimääräisten" pisteiden eli ideaalipisteiden voidaan ajatella olevan äärettömän kaukana. Projektiivisessa geometriassa sallitaan myös sellaiset geometriset muunnokset, joissa nämä ideaalipisteet kuvautuvat tavanomaisen avaruuden pisteille tai päinvastoin.
Projektiivisen geometrian yhtenä virikkeenä on ollut perspektiivioppi. Perspektiivisesti sellaisetkin suorat, jotka todellisuudessa ovat yhdensuuntaisia, esimerkiksi ratakiskot, näyttävät kaukana kohtaavan toisensa. Tämän vuoksi niiden voidaan ajatella leikkaavan toisensa "äärettömän kaukana". projektiivisessa geometriassa tavanomaiseen avaruuteen lisätäänkin kutakin yhdensuuntaisten suorien ekvivalenssiluokkaa kohti yksi "äärettömän kaukainen" piste. Kun tasoon lisätään tällaiset äärettömän kaukaiset pisteet, saadaan projektiivinen taso, ja vastaavasti kun kolmiulotteiseen avaruuteen lisätään tällaiset pisteet, saadaan kolmiulotteinen projektiivinen avaruus.
Projektiivisessa geometriassa merkityksellisiä ovat vain sellaiset ominaisuudet, jotka säilyvät projektiivisissa muunnoksissa. Esimerkiksi kulmilla ei projektiivisessa geometriassa ole merkitystä, koska ne eivät tällaisissa muunnoksissa säily, mikä perspektiivipiirustuksessa hyvin käy ilmi.
Ala sai alkunsa 1600-luvulla Girard Desarguesin tutkimuksista, mutta se jäi syrjään geometrisen tutkimuksen valtavirrasta 1800-luvun alkuun asti, jolloin Jean-Victor Poncelet julkaisi järjestelmällisen esityksen projektiivisesta geometriasta.[2] Tämän jälkeen projektiivista geometriaa alettiin tutkia niin vilkkaasti, että siitä tuli aikakauden geometrian tärkein tutkimusalue. Tällöin kehitettiin myös kompleksisen projektiivisen avaruuden teoria, jossa koordinaatit ovat kompleksilukuja. Projektiiviseen geometriaan perustuivat myös monet muut samoihin aikoihin kehitetyt abstraktin matematiikan haarat kuten invarianttiteoria, italialainen algebrallisen geometrian koulukunta, Felix Kleinin Erlangenin ohjelma, joka johti klassisten Lien ryhmien teoriaan, sekä äärellinen geometria.
Projektiivinen geometria itsekin jakaantuu nykyisin moniin tutkimusaloihin, joista esimerkkeinä voidaan mainita projektiivinen algebrallinen geometria eli projektiivisten varistojen tutkimus sekä projektiivinen differentiaaligeometria eli projektiivisten muunnosten differentiaalisten invarianttien tutkimus.