From Wikipedia, the free encyclopedia
Ekvivalenssiluokka on jonkin ekvivalenssirelaation määrittelemä annetun joukon osajoukko, johon kuuluvat ne alkiot, jotka kyseisessä relaatiossa ovat ekvivalentteja jonkin annetun alkion kanssa. Tällöin samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvat alkiot katsotaan tietyssä mielessä samankaltaisiksi. Ekvivalenssiluokka on siis joukko , missä on joukon ekvivalenssirelaatio ja .[1]
Ekvivalenssirelaation määritelmästä seuraa, että ekvivalenssiluokat muodostavat joukon osituksen. Ekvivalenssiluokkien joukkoa sanotaan joukon A tekijäjoukoksi relaation R suhteen[2], ja sitä merkitään A / R.
Kun joukolla A on jokin struktuuri ja ekvivalenssirelaatio liittyy jollakin tavalla tähän struktuuriin, tekijäjoukkoon periytyy usein samankaltainen struktuuri. Esimerkkejä tästä ovat tekijäryhmät ja tekijärenkaat abstraktissa algebrassa sekä tekijäavaruudet topologiassa.
Ekvivalenssirelaatio on binäärirelaatio ~, jolla on seuraavat kolme ominaisuutta:[3]
Sille ekvivalenssiluokalle, johon alkio a kuuluu, käytetään merkintää , ja se määritellään niiden alkioiden joukkona, jotka ovat relaatiossa ~ alkion a kanssa eli ekvivalentteja alkion a kanssa:
Jos ekvivalenssirelaatiolle käytetään merkintää R, voidaan sille ekvivalenssiluokalle, johon a kuuluu, käyttää myös merkintää . Sitä sanotaan myös a:n R-ekvivalenssiluokaksi.
Kaikkien X:n ekvivalenssiluokkien joukolle ekvivalenssirelaation R suhteen käytetään merkintää , ja sitä sanotaan X:n tekijäjoukoksi R:n suhteen. Siitä voidaan käyttää myös nimitystä X modulo R.[4] Surjektiota joukosta X joukolle X/R, joka kuvaa jokaisen alkion ekvivalenssiluokalleen, sanotaan kanoniseksi surjektioksi tai kanoniseksi projektioksi.
Kun jokaisesta ekvivalenssiluokasta valitaan yksi alkio, tämä määrittelee injektion, jota sanotaan sektioksi. Jos tälle sektiolle käytetään merkintää s, saadaan jokaiselle ekvivalenssiluokalle c. Alkiota s(c) sanotaan c:n edustajaksi. Valitsemalla sektio sopivasti voidaan mikä tahansa alkio valita ekvivalenssiluokan edustajaksi.
Toisinaan jotakin sektiota voidaan pitää "luonnollisempana" kuin muita. Sellaisissa tapauksissa ekvivalenssiluokkien edustajia sanotaan kanonisiksi edustajiksi. Esimerkiksi modulaarinen aritmetiikka perustuu kokonaislukujen joukossa määriteltyyn ekvivalenssirelaatioon, jossa , jos on jaollinen annetulla kokonaisluvulla n, jota sanotaan modulukseksi. Jokaiseen ekvivalenssiluokkaan kuuluu vain yksi ei-negatiivinen kokonaisluku, joka on pienempi kuin n, ja nämä ovat luokkien kanoniset edustajat. Luokka ja sen kanoninen edustaja voidaan tietyssä mielessä samastaa, minkä vuoksi merkintää a mod n voidaankin käyttää sekä luokasta että sen kanonisesta edustajasta (joka on samalla jakojäännös, kun a jaetaan n:llä).
Jokainen alkio kuuluu johonkin ekvivalenssiluokkaan [x]. Elleivät ekvivalenssiluokat [x] ja [y] ole samoja, ne ovat pistevieraita eli niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota (niiden leikkaus on tyhjä joukko). Näin ollen kaikkien ekvivalenssiluokkien joukko muodostaa joukon X osituksen: jokainen X:n alkio kuuluu yhteen ja vain yhteen ekvivalenssiluokkaan.[7] Kääntäen jokaista X:n ositusta vastaa ekvivalenssirelaatio, jossa x ~ y, jos ja vain jos x ja y kuuluvat samaan osituksessa määriteltyyn osajoukkoon.[8]
ekvivalenssirelaation ominaisuuksista seuraa, että
Jokainen binäärirelaatio voidaan esittää suunnatulla graafilla, symmetriset relaatiot myös suuntaamattomilla graafeilla. Jos ~ on joukon X ekvivalenssirelaatio, graafin kärjet voidaan asettaa vastaamaan joukon X alkioita niin, että s ja t yhdistetään toisiinsa kaarella, jos ja vain jos s ~ t. Tässä esityksessä ekvivalenssiluokkia niiden graafin solmujen joukot, jotka on yhdistetty keskenään kaarella.[3]
Olkoon ~ on X:n ekvivalenssirelaatio ja P jokin sellainen joukon X alkioiden ominaisuus, että jos x ~ y ja alkiolla x on ominaisuus P, myös alkiolla y on ominaisuus P. Tällöin ominaisuutta P sanotaan relaation ~ invariantiksi tai että ominaisuus P on hyvin määritelty relaation ~ suhteen.
Usein esiintyvän esimerkin tästä muodostaa tapaus, jossa f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Jos f(x1) = f(x2 aina, kun x1 ~ x2, kuvausta f sanotaan relaation ~ morfismiksi taikka luokkainvariantiksi tai lyhyemmin invariantiksi relaation ~ suhteen. Samalle asialle käytetään myös ilmaisua, että "f on yhteensopiva relaation ~ kanssa.
Jokainen funktio f ; X → Y määrittelee samalla myös lähtöjoukossa X:n erään ekvivalenssirelaation, jossa x1 ~ x2, jos ja vain jos f(x1 = f(x2). ekvivalenssiluokan x muodostavat kaikki ne X:n alkiot, jotka kuvautuvat f(x):lle, toisin sanoen luokka [x] on joukon {f(x)} alkukuva. Tätä ekvivalenssirelaatiota sanotaan kuvauksen f kerneliksi.
Yleisemmin kuvaus voi kuvata lähtöjoukon X ekvivalentit alkiot (ekvivalenssirelaation ~x suhteen) maalijoukon Y ekvivalenteille alkioille (ekvivalenssirelaation ~y suhteen). Tällaista kuvausta sanotaan morfismiksi X:stä Y:hyn.
Topologiassa tekijäavaruus on topologinen avaruus, jonka muodostavat jotakin ekvivalenssirelaatiota vastaavat ekvivalenssiluokat ja jolle topologia muodostetaan käyttämällä alkuperäisen avaruuden topologiaa.
Abstraktissa albebrassa algebrallisen struktuurin kongruenssirelaatiot tekevät mahdolliseksi määritellä vastaavat laskutoimitukset myös ekvivalenssiluokille, jolloin saadaan tekijäalgebra. Lineaarialgebrassa tekijäavaruus on tekijäjoukosta muodostettu vektoriavaruus, jossa tekijähomomorfismi on lineaarikuvaus. Abstraktissa algebrassa termiä tekijäavaruus käytetäänkin laajentuneessa merkitykessä myös tekijäryhmästä, tekijärenkaasta tai muusta tekijäalgebrasta.
Tämä artikkeli tai sen osa on tuotu vieraskielisestä lähteestä ja käännös on keskeneräinen. Voit auttaa Wikipediaa tekemällä käännöksen loppuun. |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.