Hyperbolinen funktio

Hyperboliset funktiot ovat eksponenttifunktion avulla määriteltyjä matemaattisia funktioita, jotka useilta ominaisuuksiltaan muistuttavat trigonometrisia funktioita. ^[1]

Hyperbolisten funktioiden kuvaajat

Määritelmät

Hyperbolinen sini määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti:

${\displaystyle \sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right)}$

Hyperbolinen kosini, joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti:

${\displaystyle \cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right)}$

Näiden suhde on hyperbolinen tangentti

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\left(e^{x}-e^{-x}\right)}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)}}}$

Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa:

${\displaystyle \coth t={\frac {1}{\tanh t}}={\frac {\cosh t}{\sinh t}}}$

${\displaystyle \operatorname {sech} \,t={\frac {1}{\cosh t}}}$

${\displaystyle \operatorname {csch} \,t={\frac {1}{\sinh t}}}$

Muunnoskaavoja

Hyperbolisten funktioiden muunnoskaavat muistuttavat vastaavien trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja:

${\displaystyle \sinh \left(-x\right)=-\sinh x}$

${\displaystyle \cosh \left(-x\right)=\cosh x}$, koska ${\displaystyle \cosh x}$ on parillinen funktio.

${\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1\,}$

Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ovat areafunktioita.

Hyperboliset funktiot ja yksikköhyperbeli

Samaan tapaan kuin yksikköympyrän (x² + y² = 1) pisteillä (x, y) on trigonometrisiin funktioihin perustuva parametriesitys:

${\displaystyle x=\cos t}$

${\displaystyle y=\sin t}$,

voidaan yksikköhyperbelin (x² - y² = 1) pisteiden koordinaatit esittää muodossa

${\displaystyle x=\cosh t}$

${\displaystyle y=\sinh t}$.

Tästä johtuukin nimitys hyperboliset funktiot.

Toisin kuin trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot eivät kuitenkaan ole reaalilukualueessa jaksollisia.

Derivaatat

Hyperbolinen sini ja kosini ovat toistensa derivaattoja:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,}$

Hyperbolisen tangentin derivaatta on

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)=1/\cosh ^{2}(x)\,}$

Funktiot kompleksialueessa

Sekä trigonometriset että hyperboliset funktiot voidaan määritellä myös kompleksiluvuille. Koska Eulerin kaavojen mukaan eksponenttifunktio määritellään kompleksiluvuille trigonometristen funktioiden avulla seuraavasti:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x}$

saadaan tästä hyperbolisille funktioille lausekkeet:

${\displaystyle \cosh ix={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x}$

${\displaystyle \sinh ix={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x}$

${\displaystyle \tanh ix=i\tan x\,}$

${\displaystyle \cosh x=\cos ix\,}$

${\displaystyle \sinh x=-i\sin ix\,}$

${\displaystyle \tanh x=-i\tan ix\,}$

Täten kompleksialueessa trigonometriset ja hyperboliset funktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Kompleksialueessa myös hyperboliset funktiot ovat jaksollisia: hyperbolisen sinin ja kosinin jakso on ${\displaystyle 2\pi i}$, hyperbolisen tangentin ${\displaystyle \pi i}$.

Katso myös

• Alkeisfunktio