Heinen–Borelin lause
From Wikipedia, the free encyclopedia
Heinen–Borelin lause on metristen avaruuksien topologiaan liittyvä perustulos, joka on tärkeä mm. reaalianalyysissä. Se on nimetty Eduard Heinen ja Émile Borelin mukaan.
Yksinkertaisimmassa muodossaan lause sanoo, että jos reaalilukujen joukossa jollekin suljetulle välille voidaan muodostaa avoimista väleistä koostuva peite, sillä on äärellinen osapeite.[1]
Lause voidaan yleistää myös useampiulotteisiin euklidisiin avaruuksiin . Jos S on jokin
:n osajoukko, seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:
- S on suljettu ja rajoitettu joukko
- Jokaisella joukon S avoimista joukoista muodostetulla peitteellä on äärellinen osapeite, siis S on kompakti.
Lause voidaan edelleen yleistää koskemaan kaikkia metrisiä avaruuksia. Ylimmässä muodossaan lause sanoo:
- Metrisen avaruuden osajoukko on kompakti, jos ja vain jos se on täydellinen ja täysin rajoitettu.