Suljettu joukko
From Wikipedia, the free encyclopedia
Suljettu joukko on matemaattinen joukkoa koskeva käsite.
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. |
Olkoon topologinen avaruus. Osajoukkoa
kutsutaan suljetuksi joukoksi jos ja vain jos sen komplementti
. Toisin sanoen joukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin (topologiassa
).[1]
Voidaan osoittaa, että jokainen suljettujen joukkojen leikkaus on suljettu. Myös jokainen suljettujen joukkojen äärellinen yhdiste eli unioni on suljettu. Tyhjä joukko on samanaikaisesti sekä suljettu että avoin, koska se toteuttaa molempien määritelmät.
Mikäli määräämme reaaliakselille itseisarvon virittämät avoimet joukot, niin erityisesti
:n avoimet välit ovat nyt avoimia joukkoja. Tästä seuraa, että esimerkiksi suljetut välit
ovat suljettuja joukkoja, sillä niiden komplementti saadaan avoimien välien
ja
yhdisteenä, joka on topologian määritelmän mukaan avoin joukko.