اشتراک (نظریه مجموعه‌ها)

مجموعهٔ شامل عضوهای مشترک دو مجموعه را اشتراک آنها می‌نامیم و آن را با نماد ∩ نشان می‌دهیم مثل : A∩B

اشتراک

اشتراک دو مجموعه ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ که توسط دایره نشان داده شده اند، و ${\displaystyle A\cap B}$ قسمت قرمز رنگ است.
گونه	عمل مجموعه
گرایش	نظریه مجموعه‌ها
گزاره	اشتراک برابر مجموعه عناصری است که هم در مجموعه ${\displaystyle A}$ و هم در مجموعه ${\displaystyle B}$ موجوداند.
بیان نمادین	${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}}$

تعریف

اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و ${\displaystyle X\in S}$ عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با ${\displaystyle \bigcap S}$ یا ${\displaystyle \bigcap _{A\in S}A}$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \bigcap S:=\bigcap _{A\in S}A:=\{y\in X:\forall A\in S,y\in A\}}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست.

اشتراک "صفر"تا مجموعه در حالت کلی تعریف نمی‌شود؛ اما در یک مسئله خاص اگر مجموعه مرجع U باشد، تعریف می‌شود ${\displaystyle \bigcap \phi$ :=U} .

اشتراک دو مجموعه دلخواه A و B را با ${\displaystyle A\cap B}$ نشان داده و می‌خوانیم "A اشتراک B". اشتراک سه مجموعه A، B و C را با ${\displaystyle A\cap B\cap C}$،... و اشتراک n مجموعه ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}}$ را با ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}}$ نشان می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots A_{n}=(A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots A_{n-1})\cap A_{n}}$

خواص اشتراک

مهم‌ترین ویژگی اشتراک دسته‌ای از مجموعه‌ها این است که زیرمجموعه همه آن‌هاست. فی‌الواقع اشتراک آنها بزرگ‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اجتماع دو مجموعه A و B را با ${\displaystyle A\cup B}$ نشان دهیم، به ازای هر سه مجموعه A، B و C داریم:

${\displaystyle A\cap A=A}$

${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$

${\displaystyle A\cap \phi =\phi \cap A=\phi }$

${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$

${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$

${\displaystyle A\subseteq B}$ اگر و تنها اگر ${\displaystyle A\cap B=A}$.

جستارهای وابسته

• اجتماع (مجموعه)

منابع

• Enderton, H. B. Elements of Set Theory, 2nd edition, ACADEMIC Press, Inc., 1977.

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقی‌مانده اقلیدسی ∧ بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ∨ کوچک‌ترین مضرب مشترک ترکیباتی () ضریب دوجمله‌ای P جایگشت C ترکیب	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ متمم نسبی ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل‌ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	بُرداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل‌ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر