در ریاضیات ، ضرب خارجی (به انگلیسی : Cross Product ) ، یا ضرب برداری (به انگلیسی : Vector Product ) ، یک عمل دوتایی (با نماد ×[۱] بردار اقلیدسی در فضای سه‌بعدی است که نتیجهٔ آن برداری است که بر هر دو بردار اولیه عمود است.
برای بردار‌های یکّهٔ پایه تساوی‌های زیر برقرار اند[۲] [۳]
روشی برای حفظ کردن ضرب خارجی
i
^
{\displaystyle {\hat {i}}}
j
^
{\displaystyle {\hat {j}}}
k
^
{\displaystyle {\hat {k}}}
i
^
×
j
^
=
−
j
^
×
i
^
=
k
^
{\displaystyle {\hat {i}}\times {\hat {j}}=-{\hat {j}}\times {\hat {i}}={\hat {k}}}
j
^
×
k
^
=
−
k
^
×
j
^
=
i
^
{\displaystyle {\hat {j}}\times {\hat {k}}=-{\hat {k}}\times {\hat {j}}={\hat {i}}}
k
^
×
i
^
=
−
i
^
×
k
^
=
j
^
{\displaystyle {\hat {k}}\times {\hat {i}}=-{\hat {i}}\times {\hat {k}}={\hat {j}}}
i
^
×
i
^
=
0
→
j
^
×
j
^
=
0
→
k
^
×
k
^
=
0
→
{\displaystyle {\hat {i}}\times {\hat {i}}={\vec {0}}\qquad {\hat {j}}\times {\hat {j}}={\vec {0}}\qquad {\hat {k}}\times {\hat {k}}={\vec {0}}}
از تساوی‌های فوق می‌توان فرمول ضرب خارجی را نتیجه گرفت[۲]
اگر
a
→
=
(
a
x
,
a
y
,
a
z
)
{\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})}
b
→
=
(
b
x
,
b
y
,
b
z
)
{\displaystyle {\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})}
a
→
×
b
→
=
(
a
y
b
z
−
a
z
b
y
,
a
z
b
x
−
a
x
b
z
,
a
x
b
y
−
a
y
b
x
)
{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z},a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})}
برای حفظ‌کردن راحت‌تر ضرب خارجی می‌توان از تساوی زیر کمک گرفت[۲] [۳]
a
→
×
b
→
=
|
i
^
j
^
k
^
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
|
{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}}
این دترمینان را می‌توان با روش ساروس محاسبه کرد که در نهایت به فرمول بیان ریاضی می‌رسد.
جابه‌جایی ندارد ولی[۲]
a
→
×
b
→
=
−
b
→
×
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}}
پخش‌پذیری [۲]
a
→
×
(
b
→
+
c
→
)
=
a
→
×
b
→
+
a
→
×
c
→
{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {a}}\times {\vec {c}}}
شرکت‌پذیری ندارد ولی از تساوی جاکوبی پیروی می‌کند:
a
→
×
(
b
→
×
c
→
)
+
b
→
×
(
c
→
×
a
→
)
+
c
→
×
(
a
→
×
b
→
)
=
0
→
{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})+{\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}})+{\vec {c}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {0}}}
ضرب در عدد[۲]
(
r
a
→
)
×
b
→
=
a
→
×
(
r
b
→
)
=
r
(
a
→
×
b
→
)
{\displaystyle (r{\vec {a}})\times {\vec {b}}={\vec {a}}\times (r{\vec {b}})=r({\vec {a}}\times {\vec {b}})}
a
→
×
a
→
=
0
→
{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}}
a
→
×
b
→
=
0
→
⟺
a
→
∥
b
→
{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {0}}\Longleftrightarrow {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}}
[۲]
به کمک اتّحاد لاگرانژ می‌توان دریافت[۵]
|
a
→
×
b
→
|
2
=
|
a
→
|
2
|
b
→
|
2
−
(
a
→
⋅
b
→
)
2
{\displaystyle \left\vert {\vec {a}}\times {\vec {b}}\right\vert ^{2}=\left\vert {\vec {a}}\right\vert ^{2}\left\vert {\vec {b}}\right\vert ^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}}
«۱۲٫۴». Thomas' Calculus (14th Edition) .
Weisstein, Eric W. "Cross Product" . mathworld.wolfram.com (به انگلیسی). Retrieved 2020-09-06 . 
