Reaalsirge

Reaalsirge on reaalarvude hulk koos reaalarvude loomuliku järjestuse ja teiste loomulike struktuuridega.

See artikkel räägib reaalarvude hulgast koos loomuliku järjestusega; reaalarvude geomeetrilise kujutamise kohta vaata artiklit Arvtelg

---

Arvsirge punktid sageli samastatakse reaalarvudega. Seetõttu saab arvsirget vaadelda sirgena, mille punktid on reaalarvud. Arvsirge on siis kõigi reaalarvude hulk ${\displaystyle R}$ kui ruum, nimelt ühemõõtmeline eukleidiline ruum. Seda ruumi saab vaadelda vektorruumina, afiinse ruumina, meetrilise ruumina, topoloogilise ruumina, mõõdu ruumina või lineaarse kontiinuumina.

Nagu ka reaalarvude hulka, tähistatakse reaalsirget tavaliselt sümboliga ${\displaystyle R}$ või ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Mõnikord kasutatakse ka tähist R¹, et näidata, et tegu on ühemõõtmelise eukleidilise ruumiga.

Lineaarse kontiinuumina

Reaalsirge on tavalise järjestuse < suhtes lineaarne kontiinuum: ta on lineaarselt järjestatud ning see järjestus on tihe ja tal on supreemumiomadus.

Reaalsirgel ei ole maksimaalseid ega minimaalseid elemente. Tal on loenduv tihe alamhulk, nimelt ratsionaalarvude hulk. On tõestatud, et mis tahes lineaarne kontiinuum, millel leidub loenduv tihe alamhulk ja ei leidu maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on järjestusisomorfne reaalsirgega.

Reaalsirge rahuldab ka loenduva ahela tingimust: iga paarikaupa ühisosata mittetühjade lahtiste intervallide kogum reaalsirgel on loenduv. Järjestusteoorias küsib kuulus Suslini probleem, kas iga lineaarne kontiinuum, mis rahuldab loenduva ahela tingimust ning millel pole maksimaalseid ega minimaalseid elemente, on reaalsirgega järjestusisomorfne. On osutunud, et see väide on valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikast sõltumatu.

Meetrilise ruumina

Meetrika reaalsirgel on absoluutvahe ehk vahe absoluutväärtus

Reaalsirge moodustab meetrilise ruumi, mille meetrika annab absoluutvahe ehk vahe absoluutväärtus:

d(x, y)  =  | x − y |.

Kui p ∈ R ja ε > 0, siis ε-kera ruumis ${\displaystyle R}$ keskpunktiga ${\displaystyle p}$ on lihtsalt vahemik (p − ε, p + ε).

Reaalsirgel kui meetrilisel ruumil on mitu tähtsat omadust:

• Reaalsirge on täielik meetriline ruum: iga punktide Cauchy jada koondub.
• Reaalsirge on lineaarselt sidus ning on geodeetilise meetrilise ruumi üks lihtsamaid näiteid.
• Reaalsirge Hausdorffi mõõde on 1.
• Reaalsirge isomeetriarühm ehk eukleidiline rühm ${\displaystyle E(1)}$ koosneb kõigist funktsioonidest kujuga x ↦ t ± x, kus ${\displaystyle t}$ on reaalarv. See rühm on isomorfne aditiivse rühma ${\displaystyle R}$ ning 2. järku tsüklilise rühma poolotsekorrutisega ning on üldistatud diedraalse rühma näide.

Topoloogilise ruumina

Realsirge saab lõpmata kauge punkti lisamise teel kompaktifitseerida

Reaalsirgel on loomulik topoloogia, mille saab defineerida kahel moel.

Esiteks, kuna reaalarvude hulk on loomulikul viisil täielikult järjestatud hulk, on tal loomulik järjestustopoloogia. Teiseks, kuna reaalarvude hulk on loomulikul moel meetriline ruum, on sel loomulik meetriline topoloogia. See järjestustopoloogia ja see meetriline topoloogia langevad kokku. Topoloogilise ruumina on reaalsirge homöomorfne vahemikuga (0, 1).

Reaalsirge on triviaalsel moel topoloogiline muutkond, mille mõõde on 1. Ta on homöomorfismi täpsusega üks kahest erinevast rajata 1-muutkonnast (teine on ringjoon).

Tal on ka loomulik diferentseeruv struktuur, millega ta on diferentseeruv muutkond. Difeomorfismi täpsusega võimaldab reaalsirge loomulik topoloogia ainult ühte diferentseeruvat struktuuri.

Reaalsirge on lokaalselt kompaktne ja parakompaktne, samuti loenduva baasiga ja normaalne.

Ta on ka lineaarselt sidus ning seetõttu ka sidus, kuigi teda saab muuta mittesidusaks ühe punkti eemaldamisega. Reaalsirge on ka kokkutõmmatav, nii et kõik tema homotoopiarühmad ja redutseeritud homoloogia rühmad on 0.

Reaalsirge on lokaalselt kompaktne ruum, mida saab mitut moodi kompaktifitseerida. Selle ühepunktiline kompaktifikatsioon on ringjoon (nimelt projektiivne reaalsirge) ning lisapunkti võib vaadelda märgita lõpmatusena. Teise võimalusena saab reaalsirgele lisada kaks otsa, nii et saadakse laiendatud reaalsirge [−∞, +∞]. On ka Stone'i–Čechi kompaktifikatsioon, mille puhul lisatakse lõpmata palju punkte.

Mõnel juhul on otstarbekas anda reaalsirgele mitteloomulikke topoloogiaid, näiteks alumise piirväärtuse topoloogia ja Zariski topoloogia. Reaalsirge puhul langeb viimane kokku kolõpliku topoloogiaga.

Vektorruumina

Reaalsirge on ühemõõtmeline vektorruum üle reaalarvude korpuse R (üle iseenda). Tal on loomulik skalaarkorrutis (reaalarvude korrutis), nii et tekib eukleidiline ruum. Loomulik norm on absoluutväärtus.

Mõõdu ruumina

Reaalsirge kanooniline mõõt on Lebesgue'i mõõt, mis on Boreli mõõdu vähim täielik laiend. Iga intervalli täielik mõõt on selle pikkus.

Reaalsirge Lebesgue'i mõõt on üks lihtsamaid näiteid Haari mõõdust lokaalselt kompaktsel rühmal.

Ajalugu

Reaalsirget (sirget) on uuritud antiikajast saadik, kuid see defineeriti rangelt alles 1872.

Vaata ka

• Heine-Boreli teoreem
• Boreli hulk
• Birkhoffi aksiomaatika
• Aleksandrovi sirge
• Suslini sirge
• Projektiivne reaalsirge

Viited