Diferentseeruv muutkond

Diferentseeruv muutkond (inglise keeles differentiable manifold, differential manifold) on matemaatikas geomeetriline objekt, mis näeb lokaalselt välja nagu vektorruum üle reaalarvude korpuse, nii et seal on rakendatavad tuletise mõiste ja sellega seotud mõisted. See on näiteks joone ja pinna üldistus.

Diferentseeruvat muutkonda saab kirjeldada kaartidega, mis moodustavad atlase. Teine võimalus on võtta seda kõrgema mõõtmega eukleidilise ruumi alamhulgana (eukleidilise ruumi alammuutkonnana) ning kirjeldada võrrandi või parameetrilise esitusena. Whitney sisestamisteoreem näitab, et need lähenemisviisid on samaväärsed.

Diferentseeruvat muutkonda saab defineerida topoloogilise muutkonnana koos diferentseeruva struktuuriga.

Diferentseeruvad muutkonnad on diferentsiaalgeomeetria ja diferentsiaaltopoloogia põhiline uurimisobjekt.

Diferentseeruvad muutkonnad on füüsikas väga olulised. Nendega opereeritakse füüsikateooriates, sealhulgas klassikalises mehaanikas (sidemetega süsteemid), üldrelatiivsusteoorias (aegruumi kirjeldus) ja Yangi-Millsi teoorias.

Definitsioonid

Diferentseeruv atlas

 Pikemalt artiklis Diferentseeruv atlas

Joonis illustreerib kaartide ${\displaystyle (U,\phi )}$ ja ${\displaystyle (V,\psi )}$ vahetust. Suur ring sümboliseerib topoloogilist ruumi ja kaks alumist väiksemat ringi sümboliseerivad ruumi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ alamhulki

Topoloogilise ruumi ${\displaystyle M}$ kaart on järjestatud paar ${\displaystyle (U,\phi )}$, mis koosneb ruumis ${\displaystyle M}$ lahtisest mittetühjast hulgast ${\displaystyle U\subseteq M}$ ja homöomorfismist

${\displaystyle \phi \colon \ U\to \phi (U)\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

Kui ${\displaystyle (U,\phi )}$ on ${\displaystyle (V,\psi )}$ kaks ruumi ${\displaystyle M}$ kaarti, kusjuures ${\displaystyle U\cap V\neq \emptyset }$, siis kujutust nimetatakse

${\displaystyle \psi \circ \phi ^{-1}\colon \ \phi (U\cap V)\to \psi (U\cap V)}$

kaardivahetuseks.

Ruumi ${\displaystyle M}$ atlas on siis niisugune kaartide kogum ${\displaystyle (U_{i},\phi _{i})_{i\in I}}$ (${\displaystyle I}$ on indeksite hulk), et

${\displaystyle M=\bigcup _{i\in I}U_{i}.}$

Atlast nimetatakse ${\displaystyle C^{k}}$-diferentseeruvaks, kus ${\displaystyle k\geq 1}$, kui kõik selle kaardivahetused on ${\displaystyle C^{k}}$-difeomorfismid.

Diferentseeruv struktuur

 Pikemalt artiklis Diferentseeruv struktuur

Kaks ${\displaystyle C^{k}}$-diferentseeruvat atlast on definitsiooni järgi ekvivalentsed, kui ka nende ühend on ${\displaystyle C^{k}}$-diferentseeruv atlas ist. Seda atlaste ekvivalentsiklassi selle ekvivalentsiseose suhtes nimetatakse ${\displaystyle C^{k}}$-diferentseeruvaks struktuuriks.

Kui ${\displaystyle k=\infty }$, siis räägitakse ka siledast struktuurist.

Diferentseeruv muutkond

${\displaystyle k}$ korda diferentseeruv muutkond on Hausdorffi ruum, milles on täidetud teine loenduvusaksioom, koos ${\displaystyle C^{k}}$-diferentseeruva struktuuriga.

Diferentseeruval muutkonnal on mõõde ${\displaystyle n}$, kui mõni kaart ja seetõttu kõik kaardid kujutavad ruumi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mõnda alamhulka.

Sile muutkond

 Pikemalt artiklis Sile muutkond

Sile muutkond on Hausdorffi ruum, milles on täidetud teine loenduvusaksioom, koos sileda struktuuriga.

Siledates muutkondades saab uurida funktsioonide siledust. See ei ole ${\displaystyle k}$ korda diferentseeruvates muutkondades võimalik, sest kaardivahetus on ainult ${\displaystyle k}$ korda diferentseeruv ning seetõttu saab iga funktsiooni muutkonnas diferentseerida ülimalt ${\displaystyle k}$ korda. Diferentsiaalgeomeetrid vaatlevad sageli ainult siledaid muutkondi, sest nende kohta saadakse samad tulemused mis ${\displaystyle k}$ korda diferentseeruvate muutkondade kohta, kuid pole tarvis hallata, mitu korda tohib kaardivahetust diferentseerida.

Kompleksmuutkonnad

Ka kompleksmuutkonnad (diferentseeruva muutkonna mõiste modifikatsioon) on siledad, kuid neis peab kaardivahetus olema ka biholomorfne.

Näited

Kahemõõtmeline sfäär

• Eukleidilist vektorruumi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ võib käsitada ka ${\displaystyle n}$-mõõtmelise muutkonnana. Ühest kaardist koosnev diferentseeruv atlas saadakse samasuskujutuse abil.
• Diferentseeruva muutkonna tõenäoliselt kõige lihtsam mittetriviaalne näide on ${\displaystyle n}$-mõõtmeline sfäär. Kahemõõtmeline sfäär on tavaline kahemõõtmeline kerapind. Sfääri diferentseeruv atlas saadakse näiteks stereograafilise projektsiooni abil. Sfääridel on aga võimalik defineerida ka mitteühitatavaid diferentseeruvaid atlasi.

Diferentseeruvad kujutused, teed ja funktsioonid

 Pikemalt artiklis Diferentseeruv kujutus

 Pikemalt artiklis Diferentseeruv tee

Olgu ${\displaystyle (U,\phi )}$ muutkonna ${\displaystyle M}$ kaart ja ${\displaystyle (V,\psi )}$ muutkonna ${\displaystyle N}$ kaart, kusjuures ${\displaystyle F(U)\subset V}$. Kujutust ${\displaystyle \psi \circ F\circ \phi ^{-1}\colon \phi (U)\to \psi (V)}$ nimetatakse kujutuse ${\displaystyle F}$ kaardiesituseks (nende kaartide suhtes).

Olgu ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$-mõõtmeline ja ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$-mõõtmeline ${\displaystyle C^{k}}$-muutkond. Pidevat kujutust ${\displaystyle F\colon M\to N}$ nimetatakse ${\displaystyle C^{k}}$-kujutuseks ehk ${\displaystyle k}$ korda pidevalt diferentseeruvaks (lühidalt diferentseeruvaks) kujutuseks, kui kõik selle kaardiesitused (need on siis kujutused ruumist ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ruumi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) on ${\displaystyle k}$ korda pidevalt diferentseeruvad kujutused.

Diferentseeruvus ei sõltu kaartide valikust. See tuleneb sellest, et kaardivahetuskujutused on ${\displaystyle C^{k}}$-difeomorfismid, ja mitmemõõtmelisest liitfunktsiooni diferentseerimise reeglist.

Kujutuse ${\displaystyle F}$ pidevus ei järeldu diferentseeruvusest, vaid seda tuleb eeldada, et kaardis saaks nii valida, et ${\displaystyle F(U)\subset V}$.

Klassi ${\displaystyle C^{\infty }}$ kuuluvaid kujutusi, st kui tahes palju kordi diferentseeruvaid kujutusi, nimetatakse ka siledateks kujutusteks.

Võimalikud on ka juhtumid ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{m}}$ ja ${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{n}}$. Sellistel juhtudel pole mitut kaarti tarvis.

Diferentseeruvat kujutust lõigust ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ mingisse muutkonda nimetatakse teeks (diferentseeruvaks teeks) ehk parametriseeritud jooneks. Kui sihtruum on ${\displaystyle \mathbb {R} }$, siis räägitakse diferentseeruvast funktsioonist muutkonnas ${\displaystyle M}$.

Kujutust ${\displaystyle F\colon M\to N}$ nimetatakse lokaalseks ${\displaystyle C^{k}}$-difeomorfismiks, kui kaardid saan nii valida, et kaardiesitused on ${\displaystyle F}$-difeomorfismid. Kui ${\displaystyle F}$ on ka bijektiivne, siis nimetatakse kujutust ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{k}}$-difeomorfismiks.

Selleks et defineerida diferentseeruvate muutkondade vahelise kujutuse tuletist, on tarvis lisastruktuuri, nimelt puutujaruumi (vt puutujaruum, diferentsiaal).

Omadused

• Sidusas diferentseeruvas muutkonnas ${\displaystyle M}$ mõjub difeomorfismide rühm transitiivselt, st mis tahes ${\displaystyle x,y\in M}$ korral leidub niisugune difeomorfism ${\displaystyle F\colon M\to M}$, et ${\displaystyle F(x)=y}$.
• ${\displaystyle C^{k}}$-muutkondade klass koos ${\displaystyle C^{k}}$-kujutuste klassiga moodustab kategooria.
• Diferentseeruvad ruumid on trianguleeritavad. Topoloogiliste muutkondade kohta üldiselt see ei kehti.

Alammuutkonnad

 Pikemalt artiklis Alammuutkond

${\displaystyle m}$-mõõtmelise diferentseeruva muutkonna ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$-mõõtmeline alammuutkond (${\displaystyle n<m}$) on alamhulk ${\displaystyle N}$, mis vastavatel kaartidel näeb välja nagu vektorruumi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle n}$-mõõtmeline alamruum. Täpsemalt, iga punkti ${\displaystyle p\in N}$ korral leidub ${\displaystyle p}$ ümbruses niisugune kaart ${\displaystyle (U,\phi ),}$ et ${\displaystyle \phi (N\cap U)=(\mathbb {R} ^{n}\times \{0\})\cap \phi (U).}$ Seejuures võetakse ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ kui ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m-n}}$; "0" paremal poolel on 0 ruumis ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m-n}}$. Selliseid kaarte nimetatakse lõikekaartideks. Alamhulgal ${\displaystyle N}$ on loomulikul viisil diferentseeruv struktuur, mis on ühitatav muutkonna ${\displaystyle M}$ diferentseeruva struktuuriga. Nimelt, kui samastada ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \{0\}}$ ja ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, siis lõikekaardi ${\displaystyle (U,\phi )}$ ahend ${\displaystyle (U\cap N,\phi |_{U\cap N})}$ hulgale ${\displaystyle U\cap N}$ alammuutkonna ${\displaystyle N}$ kaart ja kõigi nii saadud kaartide hulk moodustab alammuutkonna ${\displaystyle N}$ diferentseeruva atlase.

Whitney sisestamisteoreem

 Pikemalt artiklis Whitney sisestamisteoreem

Whitney sisestamisteoreem ütleb, et iga ${\displaystyle n}$-mõõtmelise diferentseeruva muutkonna ${\displaystyle M}$ korral leidub sisestus ${\displaystyle M\to \mathbb {R} ^{2n}}$, mis samastab muutkonna ${\displaystyle M}$ ruumi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$]] kinnise alammuutkonnaga. Abstraktse diferentseeruva muutkonna mõiste erineb ruumi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ alammuutkonna mõistest ainult näitlikkuse poolest, mitte matemaatiliste omaduste poolest.

Klassifikatsioon

Topologische muutkond on Hausdorffi ruum, milles on täidetud teine loenduvusaksioom, koos atlasega. Mõnikord on võimalik saada sellest diferentseeruv atlas ning laiendada topoloogiline muutkond diferentseeruvaks muutkonnaks. Ent igas topoloogilises muutkonnas pole võimalik leida diferentseeruvat struktuuri. Mõnikord on võimalik ühel topoloogilisel muutkonnal leida mittesamaväärseid diferentseeruvaid atlasi. Seega on topoloogilisi muutkondi, millel võib leida erinevaid diferentseeruvaid struktuure. Differentialgeomeetria seisukohast on tegu eri muutkondadega, topoloogia jaoks on see üks objekt.

Diferentseeruvate muutkondade klassifitseerimisel vaadeldakse valitud diferentseeruval muutkonnal vaadeldakse ainult topoloogilist struktuuri ning uuritakse, kui palju on erinevaid diferentseeruvaid struktuure, mis teevad sellest diferentseeruva struktuuri. Diferentseeruvatel muutkondadel, mille mõõde on väiksem kui neli, on (difeomorfsuse täpsusega) ainult üks diferentseeruv struktuur. Kõigil muutkondadel, mille mõõde on suurem kui neli, on lõplik arv erinevaid diferentseeruvaid struktuure. Neljamõõtmelised muutkonnad on diferentseeruvate struktuuride seisukohast ebaharilikud. Ruumil ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, mis on mittekompaktse neljamõõtmelise diferentseeruva muutkonna lihtsaim näide, on loendumatu hulk erinevaid diferentseeruvaid struktuure, seevastu ruum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, kus ${\displaystyle n\neq 4}$, on täpselt üks diferentseeruv struktuur. Neljamõõtmelise sfääri puhul aga ei ole erinevalt teistest "väiksematest" mõõdetest teada, kui palju diferentseeruvaid struktuure sellel on. Tabelis on toodud diferentseeruvate struktuuride arv sfääridel kuni mõõtmeni 12:

Mõõde	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Diferentseeruvate struktuuride arv	1	1	1	?	1	1	28	2	8	6	992	1