Pova nombro

En matematiko, pova nombro estas pozitiva entjero m tia, ke por ĉiu prima divizoro p de m, ankaŭ p² estas divizoro de m. Ekvivalente, pova nombro estas produto de kvadrato kaj kubo, t.e. nombro m de formo m = a²b³, kie a kaj b estas pozitivaj entjeroj. Povaj nombroj estas ankaŭ konataj kiel kvadrato-plenaj, aŭ 2-plenaj.

Klasifiko de entjeroj laŭ dividebleco

Formoj de faktorado:

Primo

Komponita nombro

Pova nombro

Kvadrato-libera entjero

Aĥila nombro

Nombroj kun limigitaj sumoj de divizoroj:

Perfekta nombro

Preskaŭ perfekta nombro

Kvazaŭperfekta nombro

Multiplika perfekta nombro

Hiperperfekta nombro

Unuargumenta perfekta nombro

Duonperfekta nombro

Primitiva duonperfekta nombro

Praktika nombro

Nombroj kun multaj divizoroj:

Supera altkomponita nombro

Aliaj:

Harmondivizora nombro

Vidu ankaŭ:

Jen estas listo de ĉiuj povaj nombroj inter 1 kaj 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Se m = a²b³, tiam ĉiu primo en la prima faktorigo de a aperas en la prima faktorigo de m kun eksponento de almenaŭ du, kaj ĉiu primo en la prima faktorigo de b aperas en la prima faktorigo de m kun eksponento de almenaŭ tri; pro tio, m estas pova.

En la alia direkto, supozu ke m estas pova, kun prima faktorigo

m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}},

kie ĉiu α_i ≥ 2. Estu γ_i egala al 3 se α_mi estas nepara, kaj 0 alie, kaj estu β_i = α_i - γ_i. Tiam, ĉiuj valoroj β_i estas nenegativaj paraj entjeroj, kaj ĉiuj valoroj γ_i estas ĉu 0 aŭ 3, do

m=(\prod p_{i}^{\beta _{i}})(\prod p_{i}^{\gamma _{i}})=(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2})^{2}(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3})^{3}

liveras la deziratan prezenton de m kiel produto de kvadrato kaj kubo.

En la prezento m = a²b³ kalkulita en tiamaniere b estas kvadratolibera, kaj estas unike difinita per ĉi tiu propraĵo.

La sumo inversoj de povaj nombroj konverĝas al

\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3),

kie p ruligas tra ĉiuj primoj, ζ(s) estas la rimana ζ funkcio, kaj ζ(3) estas konstanto de Apéry (Golomb, 1970).

Estu k(x) la kvanto de povaj nombroj en la intervalo [1,x]. Tiam k(x) estas proporcia al la kvadrata radiko de x. Pli detale,

cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\cdots

(Golomb, 1970).

Povas esti konsiderata la vico de paroj de najbaraj povaj nombroj. La du plej malgrandaj najbaraj povaj nombroj estas 8 kaj 9. Pro tio ke la ekvacio de Pell x² - 8y² = 1 havas malfinie multajn integralajn solvaĵojn, estas malfinie multaj paroj de najbaraj povaj nombroj (Golomb, 1970); pli ĝenerale, oni povas trovi najbarajn povajn nombrojn per solvado de simila ekvacio x² - ny² = ±1 por ĉiu perfekta kubo n. Tamen, unu el la du povaj nombroj en paro formita en tiamaniere devas esti kvadrato. Laŭ Richard K. Guy, Erdős demandis ĉu estas malfinie multaj paroj de najbaraj povaj nombroj tiaj en kiu neniu nombro en la paro estas kvadrato (ekzemplo de ĉi tia paro: 23³, 2³3²13²). Jaroslaw Wroblewski montris ke ja estas malfinie multaj ĉi tiaj paroj per montro ke 3³c²+1=7³d² havas malfinie multajn solvaĵojn. Estas konjekto de Erdős, Mollin, kaj Walsh ke ne ekzistas 3 najbaraj povaj nombroj.

Ĉiu nepara nombro estas diferenco de du najbaraj kvadratoj: 2k + 1 = (k + 1)² - k². Simile, ĉiu multipliko de 4 estas diferenco de la kvadratoj de du nombroj kiuj diferenciĝas inter si je 2. Tamen, unuope para nombro, kio estas, nombro dividebla per du sed ne per kvar, ne povas esti esprimita kiel diferenco de kvadratoj. Ĉi tiu motivigas la demandon de difinado de kiuj unuopaj paraj nombroj povas esti esprimitaj kiel diferencoj de povaj nombroj. Golomb eksponis iujn prezentojn de ĉi tiu speco:

2 = 3³ − 5²

10 = 13³ − 3⁷

18 = 19² − 7³ = 3²(3³ − 5²).

Li konjektis ke 6 ne povas esti tiel prezentita, kaj Golomb konjektis ke estas malfinie multaj entjeroj kiuj ne povas esti prezentitaj kiel diferenco inter du povaj nombroj. Tamen, Narkiewicz montris ke 6 povas esti tiel prezentita en malfinie multaj manieroj, ekzemple

6 = 5⁴7³ − 463²,

kaj McDaniel montris ke ĉiu entjero havas malfinie multajn ĉi tiajn prezentojn (McDaniel, 1982).

Erdős konjektis ke ĉiu sufiĉe granda entjero estas sumo de maksimume tri povaj nombroj; ĉi tio estis pruvita de Roger Heath-Brown (1987).

Pli ĝenerale, oni povas konsideri la entjerojn kies ĉiuj primaj faktoroj havas eksponentojn de almenaŭ k. Tia entjero estas nomata kiel k-pova nombro aŭ k-plena nombro.

(2^k+1 − 1)^k, 2^k(2^k+1 − 1)^k, (2^k+1 − 1)^k+1

estas k-povaj nombroj en aritmetika vico. Ankaŭ, se a₁, a₂, ..., a_s estas k-povaj en aritmetika vico kun komuna diferenco d, tiam

a₁(a_s + d)^k,

a₂(a_s + d)^k, ..., a_s(a_s + d)^k, (a_s + d)^k+1

estas s + 1 k-povaj nombroj en aritmetika vico.

Oni havas identon engaĝante k-povaj nombroj:

a^k(a^l + ... + 1)^k + a^{k + 1}(a^l + ... + 1)^k + ... + a^{k + l}(a^l + ... + 1)^k = a^k(a^l + ... +1)^k+1.

Ĉi tiu donas malfinie multajn (l+1)-opoj de k-povaj nombroj kies sumo estas ankaŭ k-pova. Nitaj montras ke estas malfinie multaj solvaĵoj de x+y=z en reciproke primaj 3-povaj nombroj (Nitaj, 1995). Cohn konstruas malfinian familion de solvaĵoj de x+y=z en reciproke primaj ne-kubaj 3-povaj nombroj kiel sekvas: la trio

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

estas solvaĵo de la ekvacio 32X³ + 49Y³ = 81Z³. Oni povas konstrui la alian solvaĵon per opcio X′ = X(49Y³ + 81Z³), Y′ = −Y(32X³ + 81Z³), Z′ = Z(32X³ − 49Y³) kaj nefarante la komunan dividanton.

Aĥila nombro

Cohn, J. H. E. (1998). “A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers - Konjekto de Erdős sur 3-povaj nombroj”, Math. Comp. 67, p. 439–440.
Paul Erdős kaj George Szekeres (1934). “Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem”, Acta Litt. Sci. Szeged 7, p. 95–102.
Solomon W. Golomb (1970). “Powerful numbers - Povaj nombroj”, American Mathematical Monthly - Amerika Matematiko Monate 77, p. 848–852.
Richard K. Guy. (2004) Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition - Nesolvitaj Problemoj en Nombra Teorio, 3-a redakcio. Springer-Verlag, p. Sekcio B16. ISBN 0-387-20860-7.
McDaniel, Wayne L. (1982). “Representations of every integer as the difference of powerful numbers - Prezentoj de ĉiu entjero kiel la diferenco de povaj nombroj”, Fibonacci Quarterly - Fibonacci Kvarone 20, p. 85–87.
Nitaj, Abderrahmane (1995). “On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers - Sur konjekto de Erdős sur 3-povaj nombroj”, Bulletin of the London Mathematical Society - Bulteno de la Londona Matematika Socio 27, p. 317–318.

Eric W. Weisstein, Pova nombro en MathWorld.
La abc konjekto Arkivigite je 2000-08-19 per la retarkivo Wayback Machine
A001694 en OEIS - vico de povaj nombroj
A060355 en OEIS - vico de paroj de najbaraj povaj nombroj

Pova nombro

Wikiwand in your browser!

Wikiwand in your browser!

Ekvivalento de la du difinoj

Matematikaj propraĵoj

Sumoj kaj diferencoj de povaj nombroj

Ĝeneraligo

Vidu ankaŭ

Referencoj

Eksteraj ligiloj