![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Torus_cycles.svg/langel-640px-Torus_cycles.svg.png&w=640&q=50)
Εικασία του Πουανκαρέ
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, η εικασία του Πουανκαρέ (/σwɛn.kɑːˈreɪ/ pwen-kar-AY; γαλλικά: [pwɛkaʁe])[1] είναι ένα θεώρημα σχετικά με το χαρακτηρισμό της 3-σφαίρας, η οποία είναι μια υπερσφαίρα που έχει όρια τη μοναδιαία μπάλα στον τετραδιάστατο χώρο. Η εικασία δηλώνει:
![]() |
Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Αίτιο: Πάρα πολλά συντακτικά σφάλματα, τμήματα του κειμένου είναι πιθανώς αυτόματη μετάφραση Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων. |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/P1S2all.jpg/640px-P1S2all.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Torus_cycles.svg/320px-Torus_cycles.svg.png)
Κάθε απλώς συνεκτική, κλειστή 3-πολλαπλότητα είναι ομοιομορφική με την 3-σφαίρα.
Ισοδύναμη μορφή της εικασίας περιλαμβάνει μια πιο χονδροειδή μορφή της ισοδυναμίας όπου ο ομοιομορφισμός ονομάζεται ομοτοπία ισοδυναμίας: αν μια 3-πολλαπλότητα είναι ομότοπα ισοδύναμη της 3-σφαίρα, τότε είναι αναγκαστικά ομοιομορφική.
Αρχικά εικάζεται από τον Ανρί Πουανκαρέ, το θεώρημα αφορά ένα χώρο που σε τοπικό επίπεδο μοιάζει με το συνηθισμένο τρισδιάστατο χώρο, αλλά είναι συνδεδεμένος, μη πεπερασμένος, και στερείται κάθε φράγματος (μια κλειστή 3-πολλαπλότητα). Η εικασία του Πουανκαρέ, ισχυρίζεται ότι, αν ένας τέτοιο χώρο έχει την επιπλέον ιδιότητα ότι κάθε βρόχος στο χώρο μπορεί να είναι συνεχώς σφιγμένος σε ένα σημείο, τότε είναι αναγκαστικά μια τρισδιάστατη σφαίρα. Οι ανάλογες εικασίες για όλες τις υψηλότερες διαστάσεις είχαν ήδη αποδειχθεί.
Μετά από σχεδόν ένα αιώνα από την προσπάθεια από μαθηματικούς, ο Γκριγκόρι Πέρελμαν παρουσίασε μια απόδειξη της εικασίας σε τρεις εφημερίδες που διατίθενται το 2002 και το 2003 στο arXiv (ηλεκτρονική εφημερίδα). Η απόδειξη χτισμένη πάνω στο πρόγραμμα του Ρίτσαρντ Χάμιλτον να χρησιμοποιήσετε τη ροή Ricci για να προσπαθήσει να λύσει το πρόβλημα. Ο Χάμιλτον αργότερα εισήγαγε μια τροποποίηση του προτύπου της ροής Ricci, που ονομάζεται ροή Ricci with surgery ώστε να αποκόψει συστηματικά μεμονωμένες περιοχές, καθώς αυτές θα αναπτύσσονται, με ελεγχόμενο τρόπο, αλλά δεν ήταν σε θέση να αποδείξει ότι αυτή τη μέθοδο "συγκλίνει" σε τρεις διαστάσεις.[2] Ο Πέρελμαν ολοκληρώνει αυτό το τμήμα της απόδειξης. Αρκετές ομάδες μαθηματικών επαλήθευσαν ότι η απόδειξη του Πέρελμαν ήταν σωστή.
Η εικασία του Πουανκαρέ, πριν αποδειχθεί, ήταν ένα από τα πιο σημαντικά ανοιχτά ζητήματα στην τοπολογία. Το 2000, πήρε το όνομά ενός εκ των επτά προβλημάτων της χιλιετίας (Millennium Prize Problems), για τα οποία το Μαθηματικό Ινστιτούτο Clay (Clay Mathematics Institute) πρόσφερε 1.000.000 δολάρια βραβείο για την πρώτη σωστή λύση. Το έργο του Πέρελμαν επέζησε αναθεώρηση και επιβεβαιώθηκε το 2006, με αποτέλεσμα να του προσφέρεται ένα Μετάλλιο Φιλντς, το οποίο ο ίδιος αρνήθηκε. Ο Πέρελμαν τιμήθηκε με το Βραβείο Χιλιετίας στις 18 Μαρτίου 2010.[3] Στις 1 Ιουλίου 2010, απέρριψε το βραβείο λέγοντας ότι πίστευε ότι η συμβολή του στο να αποδειχθεί η εικασία του Πουανκαρέ δεν ήταν μεγαλύτερη από αυτή του Χάμιλτον (ο οποίος ήταν ο πρώτος που πρότεινε τη χρήση της ροής Ricci για την λύση).[4][5] από το 2016[update], η εικασία του Πουανκαρέ, είναι το μόνο λυμένο από τα προβλήματα της Χιλιετίας.
Στις 22 Δεκεμβρίου 2006, το περιοδικό Science τίμησε την απόδειξη της εικασίας του Πουανκαρέ από τον Πέρελμαν ως την επιστημονική "Ανακάλυψη της Χρονιάς", και ήταν η πρώτη φορά που αυτή η τιμή απονεμήθηκε στον τομέα των μαθηματικών.[6]