Συμπαγής χώρος
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, ειδικά στη γενική τοπολογία και στη μετρική τοπολογία, ένας συμπαγής χώρος είναι ένας μαθηματικός τοπολογικός χώρος στον οποίο κάθε άπειρη ακολουθία των σημείων που διαλέξαμε από το χώρο πρέπει τελικά να τον πάρουμε αυθαίρετα κοντά σε κάποιο σημείο του χώρου. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές έννοιες της πληρότητας, σημειώνεται κατωτέρω, οι οποίες είναι ισοδύναμες σε καλές περιπτώσεις. Η έκδοση που μόλις περιγράφηκε είναι γνωστή ως διαδοχική συμπάγεια. Το θεώρημα Bolzano-Weierstrass δίνει μια αντίστοιχη συνθήκη για τη διαδοχική συμπάγεια κατά την εξέταση των υποσυνόλων του ευκλείδειου χώρου: ένα σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν ένα κλειστό διάστημα ή ένα ορθογώνιο. Έτσι, αν κάποιος επιλέξει έναν άπειρο αριθμό σημείων στο κλειστό μοναδιαίο διάστημα), ορισμένα από αυτά τα σημεία πρέπει να τα πάρουμε αυθαίρετα κοντά σε κάποιο πραγματικό αριθμό σε αυτό το χώρο. Για παράδειγμα, ορισμένοι από τους αριθμούς 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ... τους παίρνουμε αυθαίρετα κοντά στο μηδέν. (Επίσης, μερικοί τους παίρνουν αυθαίρετα κοντά στο 1.) Σημειώνεται ότι το ίδιο σύνολο των σημείων δεν θα έχουν, ως ένα σημείο συσσώρευσης, οποιοδήποτε σημείο ενός ανοικτού μοναδιαίου διαστήματος,ως εκ τούτου,αυτός ο χώρος δεν μπορεί να είναι συμπαγής. Ο Ευκλείδειος χώρος μόνος του δεν είναι συμπαγής, δεδομένου ότι δεν οριοθετείται. Συγκεκριμένα, θα μπορούσε κανείς να επιλέξει την ακολουθία των σημείων 0, 1, 2, 3, ..., της οποίας καμία υπο-ακολουθία δεν παίρνουμε τελικά αυθαίρετα κοντά σε κάθε δεδομένο πραγματικό αριθμό.
Εκτός από τα κλειστά και φραγμένα υποσύνολα του Ευκλείδιου χώρο, χαρακτηριστικά παραδείγματα των συμπαγών χώρων περιλαμβάνουν χώρους που δεν αποτελούνται από γεωμετρικά σημεία, αλλά από συναρτήσεις. Ο όρος συμπάγειας εισήχθη στα μαθηματικά από τον Maurice Fréchet το 1906 ως απόσταξη αυτής της έννοιας. Συμπαγές σε αυτή τη γενικότερη κατάσταση παίζει έναν εξαιρετικά σημαντικό ρόλο στην μαθηματική ανάλυση, επειδή πολλά κλασικά και σημαντικά θεωρήματα της ανάλυσης του 19ου αιώνα, όπως το θεώρημα ακραίας τιμής, είναι εύκολα γενικευμένη σε αυτή την κατάσταση. Μια τυπική εφαρμογή παράχθηκε από το θεώρημα της Arzelà-Ascoli, και ιδίως το θεώρημα ύπαρξης του Πεάνο, όπου κάποιος είναι σε θέση να συμπεράνει την ύπαρξη μιας συνάρτησης με κάποιες απαιτούμενες ιδιότητες ως οριακή περίπτωση κάποιων πιο στοιχειώδη κατασκευών.
Διάφορες ισοδύναμες έννοιες του συμπαγούς, συμπεριλαμβανομένου τη διαδοχική συμπάγεια και την συμπάγεια του οριακού σημείου, μπορεί να αναπτυχθεί στους γενικούς μετρικούς χώρους. Στους γενικούς τοπολογικούς χώρους οι διαφορετικές έννοιες της συμπάγειας δεν είναι απαραίτητα ισοδύναμες, και η πιο χρήσιμη έννοια, εισήχθη από τον Pavel Alexandrov και τον Pavel Urysohn το 1929,η οποία προϋποθέτει την ύπαρξη ορισμένων πεπερασμένων οικογενειών των ανοικτών συνόλων που καλύπτουν το χώρο με την αίσθηση ότι κάθε σημείο του χώρου πρέπει να βρίσκεται σε ένα σύνολο που περιέχεται στην οικογένεια. Αυτός ο πιο λεπτός ορισμός εμφανίζει τους συμπαγές χώρους ως πεπερασμένα σύνολα. Σε χώρους που είναι συμπαγής σε αυτήν την τελευταία έννοια , είναι συχνά δυνατό να επιδιορθώσει από κοινού τις πληροφορίες που βρίσκονται τοπικώς-δηλαδή, σε μια γειτονιά του κάθε σημείου-σε αντίστοιχες δηλώσεις που κατέχουν όλο το χώρο, και πολλά θεωρήματα είναι αυτού του χαρακτήρα.