Γεωμετρικός τόπος

Στην γεωμετρία, γεωμετρικός τόπος είναι ένα σύνολο σημείων που έχει όλα τα σημεία του χώρου που έχουνε μία κοινή ιδιότητα.^{[1][2]:148-162[3]:25-34} Τυπικό παράδειγμα γεωμετρικού τόπου είναι ο κύκλος, ο οποίος ορίζεται ως το σύνολο των σημείων που έχουν την ιδιότητα να απέχουν από ένα σταθερό σημείο ${\displaystyle {\rm {K}}}$ σταθερή απόσταση ${\displaystyle \rho }$ στο πεδίο. Άλλα παραδείγματα γεωμετρικών τόπων στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος, η διχοτόμος μιας γωνίας κ.α.

Στην αναλυτική γεωμετρία οι γεωμετρικοί τόποι παριστάνονται μαθηματικά από μία εξίσωση την οποία ικανοποιούν οι συντεταγμένες των σημείων που ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο. Δεδομένου ενός καρτεσιανού συστήματος αξόνων, και του επιπέδου που ορίζει αυτό, κάθε σημείο αυτού του επιπέδου ορίζεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος ${\displaystyle (x,y)}$. Όλες οι λύσεις της εξίσωσης ενός γεωμετρικού τόπου αποτελούν τιμές για το ${\displaystyle x}$ και το ${\displaystyle y}$ του ζεύγους αυτού, και άρα σημεία του επιπέδου.

Για παράδειγμα, για τον κύκλο που αναφέρεται παραπάνω, η εξίσωση είναι:

${\displaystyle (x-{\rm {K}}_{x})^{2}+(y-{\rm {K}}_{y})^{2}=\rho ^{2}}$

όπου ${\displaystyle \rho }$ είναι η ακτίνα του κύκλου και ${\displaystyle ({\rm {K}}_{x},{\rm {K}}_{y})}$ το κέντρο του.

Παραδείγματα

• Η μεσοκάθετη ενός ευθυγράμμου τμήματος ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από τα ${\displaystyle {\rm {A}}}$ και ${\displaystyle {\rm {B}}}$.
• Η διχοτόμος γωνίας ${\displaystyle {\rm {xOy}}}$ είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της ${\displaystyle {\rm {Ox}}}$ και ${\displaystyle {\rm {Oy}}}$.
• Ο γεωμετρικός τόπος των σημειων του επιπεδου που ισαπέχουν απο δύο παράλληλες ευθείες, είναι η μεσοπαράλληλος των δυο ευθειών.
• Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου τα οποία απέχουν απόσταση ${\displaystyle d}$ από μία ευθεία του επιπέδου, είναι δύο ευθείες παράλληλες από την ευθεία και σε απόσταση ${\displaystyle d}$.
• Ο Απολλώνιος κύκλος των σημείων ${\displaystyle {\rm {A}}}$ και ${\displaystyle {\rm {B}}}$ είναι το σύνολο των σημείων ${\displaystyle {\rm {P}}}$ που έχουν απόσταση με σταθερό λόγο ${\displaystyle k}$, δηλαδή ${\displaystyle {\rm {PA}}=k\cdot {\rm {PB}}}$.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Η διχοτόμος ως γεωμετρικός τόπος
• Παραδείγματα δύο γέωμετρικών τόπων: εδώ και εδώ
• Διαδραστική εφαρμογή για την μεσοκάθετο

Ελληνικά άρθρα

• Ν. Κυλιντηρέας; Ν. Μαρκάκης (1980). «Για την Α'Τάξη: Γεωμετρία». Ευκλείδης Β΄ (5): 6-8. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4312.
• Γ. Ντάνης (1983). «Οι Γεωμετρικοί Τόποι και η Αντιμετώπισή τους». Ευκλείδης Β΄ (1): 16-20. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2747.
• Ν. Κισκύρας (1983). «Ένας γεωμετρικός τόπος». Ευκλείδης Β΄ (1): 20-21. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2748.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Smith, Charlotte (Ιανουαρίου 1912). «362. [K. b. j. Locus of orthocentre»]. The Mathematical Gazette 6 (96): 221–221. doi:10.2307/3604309. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1912-01_6_96/page/221.
• Grant, M. A. (Ιουνίου 1985). «A locus problem». The Mathematical Gazette 69 (448): 91–95. doi:10.2307/3616923. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1985-06_69_448/page/91.
• Leach, E. B. (Νοεμβρίου 1956). «Finding the Cartesian Equation of a Locus». The American Mathematical Monthly 63 (9): 661. doi:10.2307/2310599. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1956-11_63_9/page/661.
• John E. Wetzel (2010). «An Ancient Elliptic Locus». The American Mathematical Monthly 117 (2): 161. doi:10.4169/000298910X476068. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2010-02_117_2/page/161.

Παραπομπές

1. Ευμορφόπουλος, Κ. Σ. Στοιχεία μαθηματικής λογικής, μαθηματικός συλλογισμός, γεωμετρικοί τόποι, γεωμετρικαί κατασκευαί. Αθήνα.
2. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
3. Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.