Κέντρο (γεωμετρία)

Στη γεωμετρία, το κέντρο είναι ένα σημείο που βρίσκεται στη "μέση" ενός αντικειμένου. Έτσι, σύμφωνα με τον συγκεκριμένο ορισμό, ένα αντικείμενο μπορεί να μην έχει καν κέντρο. Εάν η γεωμετρία θεωρείται ως η μελέτη των ομάδων ισομετρίας, τότε το κέντρο είναι ένα σταθερό σημείο όλων των ισομετριών που μετακινούν το αντικείμενο στον εαυτό του.

Εικόνα ενός κύκλου

  περιφέρεια C

  διάμετρος D

  ακτίνα R

  κέντρο ή αρχή O

Κύκλοι, σφαίρες και ευθύγραμμα τμήματα

Το κέντρο ενός κύκλου είναι το σημείο που ισαπέχει από τα σημεία της περιφέρειάς του. Ομοίως, το κέντρο μιας σφαίρας είναι το σημείο που ισαπέχει από τα σημεία της επιφάνειάς της και το κέντρο ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι το μέσο των δύο άκρων.

Συμμετρικά αντικείμενα

Κύριο λήμμα: Κέντρο συμμετρίας

Για αντικείμενα με πολλές συμμετρίες, το κέντρο συμμετρίας είναι το σημείο που παραμένει αμετάβλητο από τις συμμετρικές ενέργειες. Έτσι, το κέντρο ενός τετραγώνου, ορθογωνίου, ρόμβου ή παραλληλογράμμου είναι το σημείο όπου τέμνονται οι διαγώνιοι, το οποίο είναι και το κέντρο των περιστροφικών του συμμετριών. Ομοίως, το κέντρο μιας έλλειψης ή μιας υπερβολής είναι το σημείο όπου τέμνονται οι άξονες.

Τρίγωνα

Πολλά ειδικά σημεία ενός τριγώνου περιγράφονται συχνά ως κέντρα τριγώνων:

• το περίκεντρο, το οποίο είναι το κέντρο του κύκλου που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές.
• το βαρύκεντρο, το οποίο είναι το σημείο στο οποίο θα ισορροπούσε το τρίγωνο εάν είχε ομοιόμορφη πυκνότητα.
• το έγκεντρο, το οποίο είναι το κέντρο του κύκλου που εφάπτεται εσωτερικά και στις τρεις πλευρές του τριγώνου.
• τα παράκεντρα, τα οποία είναι τα κέντρα των κύκλων που εφάπτονται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου και είναι εξωτερικά του τριγώνου.
• το ορθόκεντρο, το οποίο είναι η τομή των τριών υψομέτρων του τριγώνου

Για ένα ισόπλευρο τρίγωνο, αυτά τα κέντρα είναι στο ίδιο σημείο, το οποίο βρίσκεται στην τομή των τριών αξόνων συμμετρίας του τριγώνου, που είναι ένα τρίτο της απόστασης από τη βάση του έως την κορυφή του.

Εφαπτομενικά πολύγωνα και κυκλικά πολύγωνα

Σε ένα περιγεγραμμένο πολύγωνο κάθε του πλευρά εφάπτεται σε έναν συγκεκριμένο κύκλο, που ονομάζεται εγγεγραμμένος κύκλος. Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου, που ονομάζεται έγκεντρο, μπορεί να θεωρηθεί και ως το κέντρο του πολυγώνου.

Ένα εγγράψιμο πολύγωνο έχει κάθε κορυφή του σε έναν συγκεκριμένο κύκλο, που ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλος. Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, που ονομάζεται περίκεντρο, μπορεί να θεωρηθεί και ως το κέντρο του πολυγώνου.

Εάν ένα πολύγωνο είναι και εφαπτομενικό και κυκλικό, ονομάζεται δικεντρικό (για παράδειγμα, όλα τα τρίγωνα είναι δικεντρικά). Το έγκεντρο και το περίκεντρο ενός δικεντρικού πολυγώνου δεν είναι συνήθως στο ίδιο σημείο.

Γενικά πολύγωνα

Το κέντρο ενός γενικού πολυγώνου μπορεί να οριστεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Το "πλευρικό κέντρο" προέρχεται από το να θεωρήσουμε ότι οι πλευρές έχουν σταθερή μάζα ανά μονάδα μήκους. Το συνηθισμένο κέντρο, που ονομάζεται βαρύκεντρο, προέρχεται από το να θεωρήσουμε την επιφάνεια του πολυγώνου ως έχουσα σταθερή πυκνότητα. Αυτά τα δύο κέντρα δεν είναι συνήθως στο ίδιο σημείο.

Προβολικά κωνικά

Στην προβολική γεωμετρία κάθε ευθεία έχει ένα σημείο στο άπειρο ή «εικονιστικό σημείο» όπου διασχίζει όλες τις γραμμές που είναι παράλληλες με αυτήν. Η έλλειψη, η παραβολή και η υπερβολή της Ευκλείδειας γεωμετρίας ονομάζονται κωνικές τομές στην προβολική γεωμετρία. Μια συμμετρία του προβολικού επιπέδου με ένα δεδομένο κωνικό συσχετίζει κάθε σημείο με μια ευθεία. Η έννοια του κέντρου στην προβολική γεωμετρία χρησιμοποιεί αυτή τη σχέση.^[1]

Δείτε επίσης

• Κέντρο μάζας
• Κέντρο συμμετρίας
• Στιγμιαίο κέντρο περιστροφής

Βιβλιογραφικές αναφορές

1. G. B. Halsted (1903) Synthetic Projective Geometry, #130, #131, #132, #139