Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Στην γεωμετρία, το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο είναι ένα τετράπλευρο με όλες τις γωνίες ορθές. Ισοδύναμα είναι ένα παραλληλόγραμμο με μία ορθή γωνία.^{[1]:119[2]:101[3]:94}

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Οι διαγώνιοι του είναι ίσες και διχοτομούνται.

Ειδική περίπτωση ορθογωνίου είναι το τετράγωνο, που επιπλέον έχει και όλες του τις πλευρές ίσες.

Ιδιότητες

• Σε ένα ορθογώνιο όλες οι εσωτερικές γωνίες είναι ορθές.^[2]: 101

Απόδειξη

Έστω ένα παραλληλόγραμμο με ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}=90^{o}}$. Τότε αφού σε ένα παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, έχουμε ότι ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}=90^{o}}$. Επίσης, οι διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές, άρα ${\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}=180^{o}-{\hat {\mathrm {A} }}=180^{o}-90^{o}=90^{o}}$. Παρόμοια και ${\displaystyle {\hat {\mathrm {\Delta } }}=90^{o}}$ και καταλήγουμε ότι όλες οι γωνίες είναι ορθές.

• Σε κάθε ορθογώνιο οι διαγώνιοι είναι ίσες.^{[1]: 119 [2]: 101}

Απόδειξη

Τα τρίγωνα ${\displaystyle \mathrm {AB\Delta } }$ και ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma \Delta } }$ έχουν την ${\displaystyle \mathrm {AB} }$ κοινή, ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } =\mathrm {\Delta A} }$ και την ${\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {B} }}}$ ως ορθές. Από τα κριτήρια ισότητας τριγώνων, έπεται ότι ${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } =\mathrm {B\Delta } }$.

• Κάθε ορθογώνιο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο το σημείο τομής των διαγωνίων του.^[1]: 120

Ο περιγεγραμμένος κύκλος του ορθογωνίου.

Απόδειξη

Από την προηγούμενη ιδιότητα οι διαγώνιοι σε ένα ορθογώνιο είναι ίσες. Από τις ιδιότητες των παραλληλογράμμων, οι διαγώνιοι διχοτομούνται. Επομένως, ${\displaystyle \mathrm {OA} =\mathrm {OB} =\mathrm {O\Gamma } =\mathrm {O\Delta } }$.

• Ένα ορθογώνιο έχει δύο άξονες συμμετρίας.^[1]: 120

Οι δύο άξονες συμμετρίας ενός ορθογωνίου.

• Κριτήρια ορθογωνίου: Ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:^{[4][1]: 119}

1. Είναι παραλληλόγραμμο με μία ορθή γωνία.
2. Είναι παραλληλόγραμμο με ίσες διαγωνίους.
3. Όλες οι γωνίες του είναι ορθές.

Μετρικές σχέσεις

Αν ${\displaystyle \alpha =\mathrm {AB} }$ και ${\displaystyle \beta =\mathrm {B\Gamma } }$, τότε

• Η περίμετρος του ορθογωνίου δίνεται από ${\displaystyle \Pi =2\cdot (\alpha +\beta )}$.
• Από το πυθαγόρειο θεώρημα, η διαγώνιος του ορθογωνίου έχει μήκος ${\textstyle d={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}$.
• Το θεώρημα της Βρετανικής σημαίας, δηλώνει ότι για κάθε ορθογώνιο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$ και ${\displaystyle \mathrm {P} }$ ένα τυχόν σημείο εσωτερικό του ορθογωνίου, ισχύει ότι

${\displaystyle (\mathrm {AP} )^{2}+(\mathrm {\Gamma P} )^{2}=(\mathrm {BP} )^{2}+(\mathrm {\Delta P} )^{2}}$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο: ${\displaystyle \mathrm {E} =\mathrm {AB} \cdot \mathrm {B\Gamma } }$.

Το ορθογώνιο που δημιουργείται από τις διχοτόμους του παραλληλογράμμου.

Εφαρμογές

Διχοτόμοι ενός παραλληλογράμμου

Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός παραλληλογράμμου δημιουργούν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.^[1]: 121

Πλακοστρώσεις

Τα ορθογώνιο παραλληλόγραμμα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο με αρκετούς διαφορετικούς τρόπους, πολλοί από τους οποίους χρησιμοποιούνται π.χ. σε πεζοδρόμια.

Περεταίρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• «Εγγραφή ορθογωνίου σε δοσμένο τρίγωνο: η Γεωμετρική και η Αλγεβρική μέθοδος». Ευκλείδης Β΄ (1): 32-35. 1977.

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Crilly, Tony (Νοεμβρίου 1994). «A supergolden rectangle». The Mathematical Gazette 78 (483): 320–325. doi:10.2307/3620208. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1994-11_78_483/page/320.
• Wagon, Stan (Αυγούστου 1987). «Fourteen Proofs of a Result About Tiling a Rectangle». The American Mathematical Monthly 94 (7): 601–617. doi:10.1080/00029890.1987.12000693.
• Schwartz, Richard Evan (Μαρτίου 2019). «Pushing a Rectangle down a Path». The Mathematical Intelligencer 41 (1): 7–10. doi:10.1007/s00283-018-9819-1.

Δείτε επίσης

wiktionary logo

Το Βικιλεξικό έχει σχετικό λήμμα:   ορθογώνιο

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα    Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

• Παραλληλόγραμμο
• Ρόμβος
• Τετράγωνο
• Ορθογώνιο τρίγωνο
• Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Παραπομπές

1. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
2. Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία 1. Ι. Χιωτέλη.
3. Νικολάου, Νικόλαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. 1973: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων.
4. Owen Byer· Felix Lazebnik· Deirdre L. Smeltzer (19 Αυγούστου 2010). Methods for Euclidean Geometry. MAA. σελίδες 53–. ISBN 978-0-88385-763-2. Ανακτήθηκε στις 13 Νοεμβρίου 2011.