Θεώρημα της Βρετανικής σημαίας

Στην γεωμετρία, το θεώρημα της Βρετανικής σημαίας δηλώνει ότι σε ένα ορθογώνιο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }$, για οποιοδήποτε εσωτερικό του σημείο ${\displaystyle \mathrm {P} }$, ισχύει ότι^[1][2]:113

${\displaystyle \mathrm {AP} ^{2}+\mathrm {\Gamma P} ^{2}=\mathrm {BP} ^{2}+\mathrm {\Delta P} ^{2}}$.

Σύμφωνα με το θεώρημα Βρετανικής σημαίας τα κόκκινα τετράγωνα έχουν το ίδιο εμβαδόν με τα μπλε τετράγωνα.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης του θεωρήματος.

Θεωρούμε τις αποστάσεις ${\displaystyle w,x,y,z}$ του σημείου ${\displaystyle \mathrm {P} }$ από τις πλευρές ${\displaystyle \mathrm {AB} ,\mathrm {B\Gamma } ,\mathrm {\Gamma \Delta } ,\mathrm {\Delta A} }$.

Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {APP_{1}} }$ έχουμε ότι

${\displaystyle (\mathrm {AP} )^{2}=w^{2}+z^{2}}$,

και στο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {\Gamma PP_{3}} }$ έχουμε ότι

${\displaystyle (\mathrm {\Gamma P} )^{2}=x^{2}+y^{2}}$.

Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουμε ότι

${\displaystyle (\mathrm {AP} )^{2}+(\mathrm {\Gamma P} )^{2}=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

(1)

Αντίστοιχα, για τις ${\displaystyle \mathrm {BP} }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Delta P} }$ έχουμε ότι

${\displaystyle (\mathrm {BP} )^{2}+(\mathrm {\Delta P} )^{2}=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

(2)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2), λαμβάνουμε τη ζητούμενη.

Επεκτάσεις

Διάφορες επεκτάσεις του θεωρήματος έχουν ερευνηθεί.^[3]

Σημαία του Ηνωμένου Βασιλείου της Μεγάλης Βρετανίας.

Ονομασία

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από την σημαία του Ηνωμένου Βασιλείου της Μεγάλης Βρετανίας.

Δείτε επίσης

• Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
• Πυθαγόρειο θεώρημα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• British Flag Theorem στο artofproblemsolving.com

Παραπομπές

1. Young, John Wesley· Morgan, Frank Millett (1917). Elementary Mathematical Analysis. The Macmillan company. σελ. 304..
2. Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
3. Tran, Quang Hung (2021). «105.45 British flag theorem for isosceles trapezia». The Mathematical Gazette 105 (564): 523–529. doi:10.1017/mag.2021.127.