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Vieleck definiert durch zwölf Punkte Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Das Zwölfeck oder Dodekagon (von altgriechisch δωδεκάγωνον dōdekágōnon, deutsch ‚Zwölfeck‘)[1] ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon) mit zwölf Ecken und zwölf Seiten.
Das Zwölfeck ist darstellbar als:
Bei einem regelmäßigen Zwölfeck sind alle Seiten gleich lang und alle Eckpunkte liegen auf einem gemeinsamen Umkreis.
Mathematische Formeln zum regelmäßigen Zwölfeck | ||
---|---|---|
Flächeninhalt | ||
Länge der Diagonalen | ||
Inkreisradius | ||
Umkreisradius | ||
Zentriwinkel | ||
Innenwinkel |
Ein regelmäßiges Zwölfeck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar:
Das regelmäßige Zwölfeck ist außer dem regelmäßigen Sechseck das einzige regelmäßige Polygon, das sich vollständig in regelmäßige Polygone mit einer kleineren Zahl von Ecken zerlegen lässt.
Mit der Zerlegung in 12 gleichseitige Dreiecke und 24 gleichschenklige Dreiecke lässt sich geometrisch veranschaulichen, dass ein regelmäßiges Zwölfeck mit dem Umkreisradius 1 die Flächenmaßzahl 3 hat.[2][3]
Eine solche Zerlegung hat folgende Eigenschaften:
Das dem Zwölfeck umbeschriebene Quadrat hat die Flächenmaßzahl 4 (Figur 2).
Werden dem Zwölfeck 3 der 12 gleichseitigen Dreiecke (dunkelgrau) und 6 der 24 gleichschenkligen Dreiecke (hellgrau) entnommen, so lassen sich diese lückenlos zwischen dem Zwölfeck und dem umbeschriebenen Quadrat platzieren (Figur 3).
Somit hat das Zwölfeck die Flächenmaßzahl 3 (gesamte gefärbte Fläche).
Durch geeignete jeweilige Zerlegung in Teilflächen lässt sich sowohl ein konvexes als auch ein konkaves regelmäßiges Zwölfeck in ein flächengleiches Quadrat verwandeln.[4][5]
Mit regelmäßigen Zwölfecken sind eine Vielzahl von Parkettierungen möglich. Die ersten zwei sind archimedische Parkettierungen, die dritte eine demireguläre Parkettierung:
Die Zahlen unter den Abbildungen geben an, wie viele Ecken die regelmäßigen Polygone haben, die jeweils an einem Punkt zusammenstoßen. Die Innenwinkel ergeben zusammen 360°. Diese Parkettierungen sind periodisch, drehsymmetrisch und translationssymmetrisch und enthält ausschließlich regelmäßige Polygone.
Ein Beispiel für eine kommerziell genutzte Parkettierung ist das Eternity-Puzzle, ein Legespiel, bei dem 209 unregelmäßige Polygonspielsteine zu einem Zwölfeck gelegt werden sollen.
Es gibt eine Vielzahl zwölfeckiger Münzen, z. B. das britische Threepence von 1942, die ehemalige 3–Pence–Münze aus Nigeria und die australische 50-cent-Münze, die 50-¢(= Seniti)-Münze von Tonga, sowie spezielle Sammlermünzen wie z. B. die spanische 300–Euro–Münze.
Beispiele für Gebäude mit Zwölfeckstruktur sind:
Das Molekülmodell von Cyclododecan ist nur in der Draufsicht zwölfeckig. Aus der dreidimensionalen Gestalt dieses Moleküls ergibt sich, dass die Kohlenstoffatome nicht alle in einer Ebene liegen. Außerdem befindet sich das Molekül bei höherer Temperatur in ständiger Bewegung, nämlich in Pseudorotation, d. h., es existieren eine Vielzahl von Konformationen.
Ein gleichseitiges konkaves Zwölfeck wird vom Phenalen, einem polycyclischen aromatischen Kohlenwasserstoff, gebildet.
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