UHF-Algebra

UHF-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse von C*-Algebren, die nach ihrem Entdecker James Glimm auch Glimm-Algebren genannt werden. Die UHF-Algebren sind einfach, das heißt, sie besitzen außer 0 und sich selbst keine zweiseitigen Ideale, und sie können zur Konstruktion bestimmter Von-Neumann-Algebren herangezogen werden.

Konstruktion

Es bezeichne ${\displaystyle M_{n}}$ die C*-Algebra der komplexen ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen. Ist ${\displaystyle n}$ ein Teiler von ${\displaystyle m}$, so sei ${\displaystyle \iota :M_{n}\rightarrow M_{m}}$ derjenige *-Homomorphismus, der eine Matrix aus ${\displaystyle M_{n}}$ auf diejenige ${\displaystyle m\times m}$-Matrix abbildet, die aus ${\displaystyle m/n}$ Kopien der Ausgangsmatrix längs der Diagonalen besteht, zum Beispiel

${\displaystyle M_{2}\rightarrow M_{6},{\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&0&0&0&0\\x_{21}&x_{22}&0&0&0&0\\0&0&x_{11}&x_{12}&0&0\\0&0&x_{21}&x_{22}&0&0\\0&0&0&0&x_{11}&x_{12}\\0&0&0&0&x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}}}$.

Dieser *-Homomorphismus ist injektiv und bildet das Einselement auf das Einselement ab. Da injektive *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren automatisch isometrisch sind, kann man ${\displaystyle M_{n}}$ in diesem Sinne als Unteralgebra von ${\displaystyle M_{m}}$ auffassen, und statt ${\displaystyle \iota }$ schreiben wir einfach ${\displaystyle M_{n}\subset M_{m}}$.

Ist nun ${\displaystyle {\vec {n}}=(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ eine Folge natürlicher Zahlen ${\displaystyle \geq 2}$, so erhält man eine Kette von Inklusionen:

${\displaystyle M_{n_{1}}\subset M_{n_{1}\cdot n_{2}}\subset M_{n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3}}\subset \ldots }$.

Auf der Vereinigung ${\displaystyle \bigcup _{k=1}^{\infty }M_{n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k}}}$ gibt es dann eine eindeutige Norm, die jede der C*-Normen von ${\displaystyle M_{n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k}}}$ fortsetzt, und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist daher eine C*-Algebra, die man UHF-Algebra oder Glimm-Algebra vom Rang ${\displaystyle {\vec {n}}}$ nennt.^[1]

Eigenschaften

Isomorphien

Die UHF-Algebren hängen natürlich von der definierenden Folge ${\displaystyle {\vec {n}}=(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ ab. Zu jeder Primzahl ${\displaystyle p}$ sei ${\displaystyle \delta _{\vec {n}}(p)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$ das Supremum aller ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so dass ${\displaystyle p^{n}}$ ein Teiler von ${\displaystyle n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k}}$, wobei ${\displaystyle k}$ gegen Unendlich läuft. Dadurch wird der definierenden Folge ${\displaystyle {\vec {n}}}$ die Folge ${\displaystyle \delta _{\vec {n}}=(\delta _{\vec {n}}(p))_{p}}$ zugeordnet, die man in Analogie zur Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen auch als ${\displaystyle \prod _{p}p^{\delta _{\vec {n}}(p)}}$ schreibt und eine übernatürliche Zahl nennt, was freilich nur rein symbolisch zu verstehen ist; ${\displaystyle p}$ durchläuft hierbei alle Primzahlen. Es gilt^[2]

• Zwei UHF-Algebren vom Rang ${\displaystyle {\vec {n}}}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {m}}}$ sind genau dann isomorph, wenn die zugeordneten übernatürlichen Zahlen gleich sind, das heißt falls ${\displaystyle \delta _{\vec {n}}(p)=\delta _{\vec {m}}(p)}$ für alle Primzahlen ${\displaystyle p}$.

Dieser Satz findet sich bereits in ^[3]. Insbesondere gibt es überabzählbar viele paarweise nicht-isomorphe UHF-Algebren.

UHF-Algebren als AF-Algebren

Nach oben angegebener Konstruktion sind UHF-Algebren spezielle AF-Algebren; letztere sind allerdings erst später eingeführt worden. Ist ${\displaystyle {\vec {n}}=(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ der Rang der UHF-Algebra, so ist das zugehörige Bratteli-Diagramm gegeben durch

${\displaystyle {\begin{matrix}&\rightrightarrows &&\rightrightarrows &&\rightrightarrows &\\n_{1}&\vdots &n_{1}\cdot n_{2}&\vdots &n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3}&\vdots &n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3}\cdot n_{4}\ldots \\&\underbrace {\rightarrow } _{n_{2}\,{\text{mal}}}&&\underbrace {\rightarrow } _{n_{3}\,{\text{mal}}}&&\underbrace {\rightarrow } _{n_{4}\,{\text{mal}}}\end{matrix}}}$.

Man liest unmittelbar ab, dass alle UHF-Algebren einfach sind, was sich aber auch ohne die Verwendung der Bratteli-Diagramme zeigen lässt. Als AF-Algebren werden UHF-Algebren auch durch ihre geordnete, skalierte K₀-Gruppe klassifiziert, diese ist isomorph zu

${\displaystyle \left\{{\frac {a}{b}};\,a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0,b|n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k}{\text{ für ein }}k\in \mathbb {N} \right\}\subset \mathbb {Q} }$

mit der durch [0,1] gegebenen Skala.^[4]

Darstellungen

UHF-Algebren sind antiliminal. Jede irreduzible Darstellung ist treu und ihr Bild enthält außer 0 keinen weiteren kompakten Operator. UHF-Algebren besitzen überabzählbar viele, paarweise nicht-äquivalente, irreduzible Darstellungen.^[5]

Konstruktion von Faktoren

Jede UHF-Algebra ${\displaystyle A}$ besitzt einen eindeutigen Spurzustand, das heißt ein stetiges lineares Funktional ${\displaystyle \tau }$ mit ${\displaystyle \tau (x^{*}x)\geq 0}$, ${\displaystyle \tau (1)=1}$ und ${\displaystyle \tau (xy)=\tau (yx)}$ für alle Elemente ${\displaystyle x,y\in A}$. Die zugehörige GNS-Konstruktion liefert eine Darstellung ${\displaystyle \pi _{\tau }:A\rightarrow L(H)}$ auf einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$. Man kann zeigen, dass der Bikommutant des Bildes ${\displaystyle \pi _{\tau }(A)^{''}\subset L(H)}$ ein Typ II₁-Faktor ist.^[6]

Man nennt Faktoren hyperfinit, wenn sie als Von-Neumann-Algebren durch eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler Unter-von-Neumann-Algebren erzeugt werden^[7]. Daraus leitet sich der Name der UHF-Algebren ab, denn diese liegen in solchen hyperfiniten Faktoren, UHF steht für uniformly-hyperfinite.

Eine besondere Rolle spielt die CAR-Algebra, die gleich der UHF-Algebra mit der übernatürlichen Zahl ${\displaystyle 2^{\infty }}$ ist. In ^[8] werden Darstellungen dieser Algebra konstruiert, deren Bilder Typ III-Faktoren als Bikommutanten haben.

Einzelnachweise

1. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Kapitel 6.4.2
2. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.4.6
3. J. Glimm: On a certain class of operator algebras, Transactions of the Amer. Math. Soc., Band 95 (1960), Seiten 318–340
4. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Beweis zu Korollar IV.5.8
5. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.7
6. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Korollar 6.4.4
7. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, III.7.4, Theorem 3
8. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.15