T1-Raum
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In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind T1-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Das T1-Axiom ist ein Beispiel eines Trennungsaxioms.
Sei X ein topologischer Raum. X heißt T1-Raum, falls für zwei beliebige Punkte jeder eine Umgebung besitzt, in der der andere nicht liegt. Zur Abgrenzung: Bei einem T₀-Raum muss nur einer der beiden Punkte eine solche Umgebung besitzen, bei einem T₂-Raum müssen die beiden Umgebungen disjunkt gewählt werden können. Man sagt auch, dass ein T1-Raum eine Fréchet-Topologie besitzt. Zu vermeiden ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung Fréchet-Raum, die ein Begriff aus der Funktionalanalysis ist.
Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:
- X ist ein T1-Raum.
- X ist ein Kolmogoroff-Raum und ein R0-Raum.
- Alle einpunktigen Mengen in X sind abgeschlossen.
- Jede endliche Menge ist abgeschlossen.
- Jede Menge mit endlichem Komplement ist offen.
- Jeder Elementarfilter zu einem beliebigen x konvergiert nur gegen x.
- Für jede Teilmenge S von X gilt, dass ein Element x aus X genau dann ein Häufungspunkt von S ist, wenn jede offene Umgebung von x unendlich viele Elemente von S enthält.
In topologischen Räumen gelten immer folgende Implikationen
- getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar ⇒ disjunkt
Falls der erste Pfeil umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R0-Raum, genau in einem T0-Raum gilt dies auch für die zweite Implikation. Damit sieht man, dass ein topologischer Raum genau dann T1 erfüllt, wenn er sowohl ein R0-Raum und ein T0-Raum ist.
Die Zariski-Topologie auf einer algebraischen Varietät (im klassischen Sinne) ist T1. Um das zu sehen, betrachten wir einen Punkt mit lokaler Koordinate . Die dazugehörige einpunktige Menge ist die Nullstellenmenge der Polynome . Der Punkt ist somit abgeschlossen.
Für ein weiteres Beispiel betrachten wir die kofinite Topologie auf einer abzählbaren Menge, etwa der Menge der ganzen Zahlen . Als offene Menge definieren wir genau die leere Menge und die Mengen mit endlichem Komplement. Sie haben also alle die Gestalt mit einer endlichen Menge A. Seien nun x und y zwei verschiedene Punkte. Die Menge ist eine offene Menge, die x enthält und y nicht. Andererseits enthält das Element y, aber x nicht. Somit handelt es sich tatsächlich um einen T1-Raum. Dies kann man aber auch aus der Tatsache folgern, dass einelementige Mengen abgeschlossen sind. Dieser Raum ist aber kein T2-Raum. Denn für zwei endliche Mengen A und B gilt , was nie leer sein kann. Weiter ist die Menge der geraden Zahlen kompakt, aber nicht abgeschlossen, was in einem T2-Raum nie der Fall sein kann.
Allgemeiner gilt für jeden topologischen Raum, der das T1-Axiom erfüllt, dass seine Topologie bereits die kofinite Topologie umfasst. Die kofinite Topologie ist somit die gröbste T1-Topologie auf einer Menge.
- Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
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