Projektive Varietät

In der klassischen algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine projektive Varietät ein geometrisches Objekt, das durch homogene Polynome beschrieben werden kann.

Definition

Es sei ${\displaystyle K}$ ein fest gewählter, algebraisch abgeschlossener Körper.

Der ${\displaystyle n}$-dimensionale projektive Raum über dem Körper ${\displaystyle K}$ ist definiert als

${\displaystyle P^{n}:=(K^{n+1}\setminus \{(0,\ldots ,0)\})/\sim }$

für die Äquivalenzrelation

${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\sim (y_{0},\ldots ,y_{n})\Leftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}\colon x_{i}=\lambda y_{i},i=0,\ldots ,n}$.

Die Äquivalenzklasse des Punktes ${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})}$ wird mit ${\displaystyle \left[x_{0}:\ldots :x_{n}\right]}$ bezeichnet.

Für ein homogenes Polynom ${\displaystyle f\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}]}$ und einen Punkt ${\displaystyle x=[x_{0}:\ldots :x_{n}]}$ ist die Bedingung ${\displaystyle f(x_{0},\ldots ,x_{n})=0}$ unabhängig von den gewählten homogenen Koordinaten von ${\displaystyle x}$.

Eine projektive algebraische Menge ist eine Teilmenge des projektiven Raumes, die die Form

${\displaystyle \{x\in P^{n}\mid f_{1}(x)=\ldots =f_{k}(x)=0\}}$

für homogene Polynome ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ in ${\displaystyle K[X_{0},\ldots ,X_{n}]}$ hat.

Eine projektive Varietät ist eine irreduzible projektive algebraische Menge, d. h., die Polynome ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$ sollen ein Primideal in ${\displaystyle K[X_{0},\ldots ,X_{n}]}$ erzeugen.

Beispiele

• ${\displaystyle P^{n}\times P^{m}}$ ist eine projektive Varietät mittels der Segre-Einbettung

${\displaystyle P^{n}\times P^{m}\to P^{(n+1)(m+1)-1},(x_{i},y_{j})\mapsto x_{i}y_{j}}$ (in lexikographischer Ordnung).

• Das Faserprodukt zweier projektiver Varietäten ist eine projektive Varietät.
• Hyperflächen sind Nullstellenmengen eines irreduziblen homogenen Polynoms. Jede irreduzible abgeschlossene Untermenge der Kodimension 1 ist eine Hyperfläche.
• Eine glatte Kurve (d. h. Kurve ohne Singularitäten) ist genau dann eine projektive Varietät, wenn sie vollständig ist. Ein Beispiel sind elliptische Kurven, die sich in ${\displaystyle P^{2}}$ einbetten lassen. (Allgemein kann jede glatte vollständige Kurve in ${\displaystyle P^{3}}$ eingebettet werden.) Glatte vollständige Kurven vom Geschlecht größer als 1 heißen hyperelliptische Kurven, wenn es einen endlichen Morphismus vom Grad 2 auf den ${\displaystyle P^{1}}$ gibt.
• Abelsche Varietäten besitzen ein amples Geradenbündel und sind deshalb projektiv. Beispiele sind elliptische Kurven, Jacobi-Varietäten und K3-Flächen.
• Grassmann-Mannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Plücker-Einbettung.
• Fahnenmannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Einbettung in ein Produkt von Graßmann-Mannigfaltigkeiten.
• Kompakte Riemannsche Flächen (kompakte eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten) sind projektive Varietäten. Nach dem Satz von Torelli werden sie durch ihre Jacobi-Varietät eindeutig bestimmt.
• Eine kompakte zweidimensionale komplexe Mannigfaltigkeit mit zwei algebraisch unabhängigen meromorphen Funktionen ist eine projektive Varietät. (Chow-Kodaira)
• Der Kodaira-Einbettungssatz gibt ein Kriterium, wann eine Kähler-Mannigfaltigkeit eine projektive Varietät ist.

Invarianten

• Das Hilbert-Samuel-Polynom des homogenen Koordinatenringes ${\displaystyle K\left[X_{0},\ldots ,X_{n}\right]/I}$, wenn die projektive Varietät durch das homogene Primideal ${\displaystyle I}$ definiert ist. Aus dem Hilbert-Samuel-Polynom ergeben sich insbesondere die Dimension, der Grad und das arithmetische Geschlecht der Varietät.
• Die Picardgruppe (die Gruppe der Isomorphismenklassen von Linienbündeln) und die Jacobi-Varietät (der Kern von ${\displaystyle deg:Pic(X)\rightarrow \mathbb {Z} }$).

Weblinks

• Bauer et al.: Geometry and topology through projective spaces