Graßmann-Mannigfaltigkeit

Graßmann-Mannigfaltigkeiten (gelegentlich fälschlich auch Grassmann-Mannigfaltigkeiten geschrieben) sind in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie. Sie parametrisieren die Unterräume eines Vektorraumes und stellen damit eine Verallgemeinerung des projektiven Raumes dar. Benannt sind sie nach Hermann Graßmann.

Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $\mathbb {K}$ . Dann bezeichnet

Gr(r,V)

die Menge der $r$ -dimensionalen Untervektorräume von $V$ . Falls $V$ $n$ -dimensional ist, bezeichnet man $Gr(r,V)$ auch mit

Gr(r,n)

.

Wirkung der orthogonalen/unitären und linearen Gruppe

Im Fall $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ wirkt die orthogonale Gruppe

O(n)

auf $Gr(r,n)$ durch

(A,W)\rightarrow A(W)

.

Die Wirkung ist transitiv, die Stabilisatoren sind konjugiert zu

O(r)\times O(n-r)

.

Man erhält also eine Bijektion zwischen $Gr(r,n)$ und dem homogenen Raum

O(n)/(O(r)\times O(n-r))

.

Im Fall $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ wirkt die unitäre Gruppe $U(n)$ transitiv und liefert eine Bijektion der Graßmann-Mannigfaltigkeit mit

U(n)/(U(r)\times U(n-r))

.

Topologie

Als reelle Graßmann-Mannigfaltigkeit (der $r$ -dimensionalen Unterräume im $\mathbb {R} ^{n}$ ) bezeichnet man $Gr(r,n)$ mit der durch die Identifikation mit

O(n)/(O(r)\times O(n-r))

gegebenen Topologie.

Als komplexe Graßmann-Mannigfaltigkeit $Gr(r,n)$ bezeichnet man entsprechend

U(n)/(U(r)\times U(n-r))

.

Die kanonische Inklusion $\mathbb {K} ^{n}\subset \mathbb {K} ^{n+1}$ induziert eine Inklusion $Gr(r,n)\subset Gr(r,n+1)$ . Man definiert

Gr(r,\infty ):=\lim _{n}Gr(r,n)

als induktiven Limes der $Gr(r,n)$ mit der Limes-Topologie.

Algebraische Varietät

Grassmann-Mannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Plücker-Einbettung.

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Sei $\mathbb {K} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbb {K} ^{n}$ der projektive Limes bezüglich der kanonischen Inklusionen und definiere

\gamma ^{r}:=\left\{(W,x)\in Gr(r,\infty )\times \mathbb {K} ^{\infty }:x\in W\right\}\subset Gr(r,\infty )\times \mathbb {K} ^{\infty }

.

Dann ist die Projektion auf den ersten Faktor ein Vektorbündel

\gamma ^{r}\rightarrow Gr(r,\infty )

,

welches als tautologisches oder universelles r-dimensionales Vektorbündel bezeichnet wird.

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Zu jedem r-dimensionalen Vektorbündel $E\rightarrow B$ gibt es eine stetige Abbildung

f\colon B\rightarrow Gr(r,\infty )

,

so dass $E$ das Pullback des tautologischen Bündels $\gamma ^{r}$ unter $f$ ist.

Im Fall des Tangentialbündels $TM$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ hat man die folgende explizite Beschreibung der klassifizierenden Abbildung: Nach dem Einbettungssatz von Whitney kann man annehmen, dass $M$ eine Untermannigfaltigkeit eines $\mathbb {R} ^{m}$ ist. Die Tangentialebene $T_{x}M$ in einem Punkt $x\in M$ ist dann von der Form

T_{x}M=x+W_{x}

für einen Untervektorraum $W_{x}\subset \mathbb {R} ^{m}$ . Die Zuordnung

x\rightarrow W_{x}

definiert eine stetige Abbildung

f\colon M\rightarrow Gr(r,m)\subset Gr(r,\infty )

und man kann zeigen, dass

f^{*}\gamma ^{r}=TM

ist.

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Die Graßmann-Mannigfaltigkeit $Gr(r,\infty )$ ist der klassifizierende Raum für Prinzipalbündel mit Strukturgruppen $O(r)$ . Und damit auch für Prinzipalbündel mit Strukturgruppe $\operatorname {GL} (r)$ , denn weil die Inklusion $O(r)\rightarrow \operatorname {GL} (r)$ eine Homotopieäquivalenz ist, lässt sich jedes $\operatorname {GL} (r)$ -Bündel auf die Strukturgruppe $O(r)$ reduzieren. Es gilt also:

Gr(r,\infty )\simeq \operatorname {BGL} (r,\mathbb {K} )\simeq \operatorname {BO} (r,\mathbb {K} )

.

Die kanonische Projektion von der Stiefel-Mannigfaltigkeit $V(r,\infty )$ nach $G(r,\infty )$ , welche Repere jeweils auf den von ihnen erzeugten Unterraum abbildet, ist das universelle $O(r)$ -Bündel. (Das tautologische Bündel $\gamma ^{r}$ ergibt sich aus dem universellen $O(r)$ -Bündel als assoziiertes Vektorbündel durch die kanonische Wirkung von $O(r)$ auf dem Vektorraum $\mathbb {R} ^{r}$ .)